trong hệ trục oxyz, cho hai điểm A(2,-1,2),B(1,4,-3) và mặt phẳng (P) x-2y+2Z-3=0. đường thẳng d thay đổi sao cho d luôn đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). khi khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d nhỏ nhất thì đường thẳng d có một vecto chỉ phương U=(a,1,b). giá trị của 4a +b bằng bao nhiêu

Question

Accepted Answer

Gọi $\vec{n}=(1,-2,2)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vì đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ nên vector chỉ phương $\vec{u}=(a,1,b)$ của $d$ vuông góc với $\vec{n}$, tức là $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.

Suy ra $a - 2 + 2b = 0$, hay $a + 2b = 2$.

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1-2, 4-(-1), -3-2) = (-1, 5, -5)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên đường thẳng $d$. Khi đó $BH$ là khoảng cách từ $B$ đến $d$. Để $BH$ nhỏ nhất thì $d$ phải vuông góc với $AB$.

Suy ra $\overrightarrow{AB} \cdot \vec{u} = 0$, hay $-a + 5 - 5b = 0$, tức là $a + 5b = 5$.

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} a + 2b = 2 \ a + 5b = 5 \end{cases}$

Trừ hai phương trình, ta được $3b = 3 \Rightarrow b = 1$.

Thay $b=1$ vào phương trình $a + 2b = 2$, ta được $a + 2(1) = 2 \Rightarrow a = 0$.

Vậy $\vec{u} = (0, 1, 1)$.

Khi đó $4a + b = 4(0) + 1 = 1$.

Vậy giá trị của $4a+b$ là 1.

trong hệ trục oxyz, cho hai điểm A(2,-1,2),B(1,4,-3) và mặt phẳng (P) x-2y+2Z-3=0. đường thẳng d thay đổi sao cho d luôn đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P). khi khoảng cách từ điểm B đến đườn...