Phương trình tiếp tuyến của (C) (x-3)² +(y+1)²=5 biết tiếp tuyến song song với d 2x+y+7=0

Question

Phương trình tiếp tuyến của  (C) (x-3)² +(y+1)²=5 biết tiếp tuyến song song với d 2x+y+7=0

Accepted Answer

Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$: $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 5$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$: $2x + y + 7 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $2x + y + 7 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = -2x - 7$. Vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k_d = -2$.

2. Xác định hệ số góc của tiếp tuyến:
   Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$, nên hệ số góc của tiếp tuyến cũng là $k = -2$.

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = -2x + b$. Để tìm $b$, ta cần biết tọa độ điểm tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn $(C)$.

4. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn $(C)$:
   Đường tròn $(C)$ có tâm $I(3, -1)$ và bán kính $r = \sqrt{5}$.

5. Xác định khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến:
   Khoảng cách từ tâm $I(3, -1)$ đến tiếp tuyến $y = -2x + b$ phải bằng bán kính $r = \sqrt{5}$. Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
   $$
   d = \frac{|-2 \cdot 3 + (-1) - b|}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-6 - 1 - b|}{\sqrt{5}} = \frac{|-7 - b|}{\sqrt{5}}
   $$
   Vì khoảng cách này bằng bán kính $\sqrt{5}$, ta có:
   $$
   \frac{|-7 - b|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}
   $$
   Nhân cả hai vế với $\sqrt{5}$:
   $$
   |-7 - b| = 5
   $$

6. Giải phương trình giá trị tuyệt đối:
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   -7 - b = 5 \quad \text{hoặc} \quad -7 - b = -5
   $$
   Giải từng trường hợp:
   $$
   -7 - b = 5 \implies b = -12
   $$
   $$
   -7 - b = -5 \implies b = -2
   $$

7. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Vậy ta có hai phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y = -2x - 12 \quad \text{và} \quad y = -2x - 2
   $$

Đáp số: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ là $y = -2x - 12$ hoặc $y = -2x - 2$.