mọi người giúp em vs ạ qua điểm $B(4;6).$,$A.~\Delta:~x-4=0$ hoặc $\Delta:~3x+4y-36=0.$ $B.~\Delta:x-4=0$ Hưạc,$C.~\Delta:y-6=0$ hoặc $\Delta:~3x+4y-36=0.$ $D.~\Delta:~x-4=0$ hoặc $\Delta:~3x-4y+12=0.$,Câu 10. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn,$(C):~x^2+y^2-2x+4y-11=0?$,A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.,11. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm $N(-2;0)$ tiếp xúc với đường tròn,$(C):~(x-2)^2+(y+3)^2=4?$,A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.,Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-2)^2+(y+4)^2=25,$ biết tiếp tuyến vuông,góc với đường thẳng $d:~3x-4y+5=0.$,$A.~4x+3y+29=0.$ $B.~4x+3y+29=0$ hoặc $4x+3y-21=0.$,$C.~4x-3y+5=0$ hoặc $4x-3y-45=0$ $D.~4x+3y+5=0$ hoặc $4x+3y+3=0.$,Câu 13. Tìm giao điểm 2 đường tròn $(C_1):x^2+y^2-4=0$ và $(C_2):~x^2+y^2-4x-4y+4=0.$,$A.~(2;2)$ và $(-2;-2).$ $B.~(0;2)$ và $(0;-2).$ $C.~(2;0)$ và $(-2;0).$ $D.~(2;0)$ và $(0;2).$,Câu 14. Cho đường thẳng $\Delta:3x-4y-19=0$ và đường tròn $(C):~(x-1)^2+(y-1)^2=25.$ Biết đường,thẳng A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B , khi đó độ dài đọan thẳng AB là,A. 6. B. 3. C. 4. D. 8.,Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có tâm $I(1;-1)$ bán kính $R=5.$ Biết rằng,đường thẳng $(d):~3x-4y+8=0$ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tính độ dài đoạn thẳng,AB .,$B.~AB=4.$ $C.~AB=3..$ $D.~AB=6.$

Question

Accepted Answer

Câu 10.
Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ.

Bài 1: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn $(C):~x^2+y^2-2x+4y-11=0?$

Bước 1: Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn
Ta có phương trình đường tròn:
$$ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 $$

Viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 $$

Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là $I(1, -2)$ và bán kính $R = 4$.

Bước 2: Xét đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0,0)
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng:
$$ y = mx $$

Bước 3: Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn
Đường thẳng $y = mx$ tiếp xúc với đường tròn nếu khoảng cách từ tâm $I(1, -2)$ đến đường thẳng bằng bán kính $R$.

Khoảng cách từ điểm $I(1, -2)$ đến đường thẳng $y = mx$ là:
$$ d = \frac{|m \cdot 1 - (-2)|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} $$

Điều kiện tiếp xúc:
$$ \frac{|m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 4 $$

Bước 4: Giải phương trình
$$ |m + 2| = 4 \sqrt{m^2 + 1} $$

Với $m + 2 \geq 0$:
$$ m + 2 = 4 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ (m + 2)^2 = 16(m^2 + 1) $$
$$ m^2 + 4m + 4 = 16m^2 + 16 $$
$$ 15m^2 - 4m + 12 = 0 $$

Với $m + 2 < 0$:
$$ -(m + 2) = 4 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ -m - 2 = 4 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ (-m - 2)^2 = 16(m^2 + 1) $$
$$ m^2 + 4m + 4 = 16m^2 + 16 $$
$$ 15m^2 - 4m + 12 = 0 $$

Phương trình $15m^2 - 4m + 12 = 0$ có biệt số:
$$ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 12 = 16 - 720 = -704 $$

Vì $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm. Do đó, không có đường thẳng nào đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với đường tròn.

Đáp án: A. 0

Bài 2: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm $N(-2,0)$ tiếp xúc với đường tròn $(C):~(x-2)^2+(y+3)^2=4?$

Bước 1: Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn
Ta có phương trình đường tròn:
$$ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 $$

Tâm của đường tròn là $I(2, -3)$ và bán kính $R = 2$.

Bước 2: Xét đường thẳng đi qua điểm $N(-2,0)$
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $N(-2,0)$ có dạng:
$$ y = m(x + 2) $$

Bước 3: Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng với đường tròn
Đường thẳng $y = m(x + 2)$ tiếp xúc với đường tròn nếu khoảng cách từ tâm $I(2, -3)$ đến đường thẳng bằng bán kính $R$.

Khoảng cách từ điểm $I(2, -3)$ đến đường thẳng $y = m(x + 2)$ là:
$$ d = \frac{|m \cdot 2 + 2m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|4m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} $$

Điều kiện tiếp xúc:
$$ \frac{|4m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2 $$

Bước 4: Giải phương trình
$$ |4m + 3| = 2 \sqrt{m^2 + 1} $$

Với $4m + 3 \geq 0$:
$$ 4m + 3 = 2 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ (4m + 3)^2 = 4(m^2 + 1) $$
$$ 16m^2 + 24m + 9 = 4m^2 + 4 $$
$$ 12m^2 + 24m + 5 = 0 $$

Với $4m + 3 < 0$:
$$ -(4m + 3) = 2 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ -4m - 3 = 2 \sqrt{m^2 + 1} $$
$$ (-4m - 3)^2 = 4(m^2 + 1) $$
$$ 16m^2 + 24m + 9 = 4m^2 + 4 $$
$$ 12m^2 + 24m + 5 = 0 $$

Phương trình $12m^2 + 24m + 5 = 0$ có biệt số:
$$ \Delta = 24^2 - 4 \cdot 12 \cdot 5 = 576 - 240 = 336 $$

Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm thực. Do đó, có hai đường thẳng đi qua điểm $N(-2,0)$ và tiếp xúc với đường tròn.

Đáp án: C. 2

Câu 12.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C):~(x-2)^2+(y+4)^2=25,$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d:~3x-4y+5=0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hệ số góc của đường thẳng $d$:
   Đường thẳng $d$ có phương trình $3x - 4y + 5 = 0$. Ta viết lại phương trình này dưới dạng $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$. Vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $\frac{3}{4}$.

2. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
   Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d$, nên hệ số góc của tiếp tuyến sẽ là $-\frac{4}{3}$ (vì tích của hai hệ số góc vuông góc là $-1$).

3. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Tiếp tuyến có dạng $y = -\frac{4}{3}x + b$. Để tìm $b$, ta sử dụng điểm tâm của đường tròn $(2, -4)$ và bán kính $r = 5$.

4. Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
   Khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến phải bằng bán kính của đường tròn. Ta có:
   $$
   \frac{|-\frac{4}{3}(2) + (-4) + b|}{\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 1}} = 5
   $$
   $$
   \frac{|-\frac{8}{3} - 4 + b|}{\sqrt{\frac{16}{9} + 1}} = 5
   $$
   $$
   \frac{|-\frac{8}{3} - \frac{12}{3} + b|}{\sqrt{\frac{25}{9}}} = 5
   $$
   $$
   \frac{|-\frac{20}{3} + b|}{\frac{5}{3}} = 5
   $$
   $$
   |-\frac{20}{3} + b| = 5 \times \frac{5}{3}
   $$
   $$
   |-\frac{20}{3} + b| = \frac{25}{3}
   $$

5. Giải phương trình giá trị tuyệt đối:
   Ta có hai trường hợp:
   $$
   -\frac{20}{3} + b = \frac{25}{3} \quad \text{hoặc} \quad -\frac{20}{3} + b = -\frac{25}{3}
   $$
   $$
   b = \frac{25}{3} + \frac{20}{3} = \frac{45}{3} = 15 \quad \text{hoặc} \quad b = -\frac{25}{3} + \frac{20}{3} = -\frac{5}{3}
   $$

6. Viết phương trình tiếp tuyến:
   Ta có hai phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y = -\frac{4}{3}x + 15 \quad \text{hoặc} \quad y = -\frac{4}{3}x - \frac{5}{3}
   $$
   Viết lại dưới dạng tổng quát:
   $$
   4x + 3y - 45 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x + 3y + 5 = 0
   $$

Vậy đáp án đúng là:
B. $4x + 3y + 29 = 0$ hoặc $4x + 3y - 21 = 0$.

Câu 13.
Để tìm giao điểm của hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình của hai đường tròn:
$$
(C_1): x^2 + y^2 - 4 = 0
$$
$$
(C_2): x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0
$$

Bước 2: Lấy phương trình của $(C_2)$ trừ đi phương trình của $(C_1)$:
$$
(x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4) - (x^2 + y^2 - 4) = 0
$$
$$
-4x - 4y + 8 = 0
$$
$$
x + y - 2 = 0
$$
$$
y = 2 - x
$$

Bước 3: Thay $y = 2 - x$ vào phương trình của $(C_1)$:
$$
x^2 + (2 - x)^2 - 4 = 0
$$
$$
x^2 + (4 - 4x + x^2) - 4 = 0
$$
$$
2x^2 - 4x = 0
$$
$$
2x(x - 2) = 0
$$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai:
$$
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
$$

Bước 5: Tìm các giá trị tương ứng của $y$:
- Khi $x = 0$, ta có $y = 2 - 0 = 2$. Vậy giao điểm là $(0, 2)$.
- Khi $x = 2$, ta có $y = 2 - 2 = 0$. Vậy giao điểm là $(2, 0)$.

Vậy giao điểm của hai đường tròn là $(2, 0)$ và $(0, 2)$. Đáp án đúng là:
D. $(2, 0)$ và $(0, 2)$.

Câu 14.
Để tìm độ dài đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C):
   - Đường tròn (C) có phương trình: $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 25$.
   - Tâm của đường tròn là $I(1, 1)$.
   - Bán kính của đường tròn là $r = 5$.

2. Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$:
   - Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $3x - 4y - 19 = 0$.
   - Khoảng cách từ điểm $I(1, 1)$ đến đường thẳng $\Delta$ được tính bằng công thức:
     $$
     d = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 - 19|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 4 - 19|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-20|}{5} = 4
     $$

3. Áp dụng công thức tính độ dài dây cung:
   - Độ dài đoạn thẳng AB (dây cung) được tính bằng công thức:
     $$
     AB = 2 \sqrt{r^2 - d^2}
     $$
   - Thay $r = 5$ và $d = 4$ vào công thức:
     $$
     AB = 2 \sqrt{5^2 - 4^2} = 2 \sqrt{25 - 16} = 2 \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6
     $$

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 6.

Đáp án đúng là: A. 6.

Câu 15.
Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d):
   Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
   $$
   d(I, (d)) = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 4 + 8|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3
   $$

2. Áp dụng công thức tính độ dài dây cung:
   Độ dài dây cung AB được tính bằng công thức:
   $$
   AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2}
   $$
   Trong đó, R là bán kính của đường tròn và d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

3. Thay các giá trị đã biết vào công thức:
   $$
   AB = 2 \sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \sqrt{25 - 9} = 2 \sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8
   $$

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là 8.

Đáp án đúng là: A. $AB = 8$.