mọi người giúp em với ạ PHẦN 3. TRẢ LỜI NGẮN,Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn tâm $I(5;6)$ và tiếp xúc với đường,thẳng $d:~3x-4y-6=0.$,Câu 2. Tìm m để phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ là một phương trình đường tròn.,Câu 3. Cho đường tròn $(C):~x^2+y^2+2x-4y-4=0.$,Tìm m để qua điểm $A(2;m)$ chỉ có một tiếp tuyến với (C).,Câu 4. Cho đường tròn $(C):~(x-6)^2+(y-7)^2=25.$ Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với,đường tròn (C) và song song với đường thẳng $\Delta:~x+2y-5=0.$,Câu 5. Lập phương trình đường tròn (C) biết:,,(C) đi qua ba điểm $M(2;0),~N(-2;0),~P(1;-1).$,Câu 6. Hình mô phỏng một trạm thu phát sóng wifi chuyên dụng tầm xa đặt ở vị,trí I có tọa độ $(1;3)$ trong mặt phẳng toạ độ Oxy (đơn vị trên các trục là ki-lô-,mét). Nếu người dùng điện thoại ở toạ độ $(2;2)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của,trạm này không?

Question

mọi người giúp em với ạ PHẦN 3. TRẢ LỜI NGẮN,Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường tròn tâm $I(5;6)$ và tiếp xúc với đường,thẳng $d:~3x-4y-6=0.$,Câu 2. Tìm m để phương trình $x^2+y^2-2(m+2)x+4my+19m-6=0$ là một phương trình đường tròn.,Câu 3. Cho đường tròn $(C):~x^2+y^2+2x-4y-4=0.$,Tìm m để qua điểm $A(2;m)$ chỉ có một tiếp tuyến với (C).,Câu 4. Cho đường tròn $(C):~(x-6)^2+(y-7)^2=25.$ Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với,đường tròn (C) và song song với đường thẳng $\Delta:~x+2y-5=0.$,Câu 5. Lập phương trình đường tròn (C) biết:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/59d15bf5394a43df9de3f00c39553416.jpg />,(C) đi qua ba điểm $M(2;0),~N(-2;0),~P(1;-1).$,Câu 6. Hình mô phỏng một trạm thu phát sóng wifi chuyên dụng tầm xa đặt ở vị,trí I có tọa độ $(1;3)$ trong mặt phẳng toạ độ Oxy (đơn vị trên các trục là ki-lô-,mét). Nếu người dùng điện thoại ở toạ độ $(2;2)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của,trạm này không?

Accepted Answer

Câu 1. Để viết phương trình đường tròn tâm $ I(5;6) $ và tiếp xúc với đường thẳng $ d: 3x - 4y - 6 = 0 $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ d $: Khoảng cách từ điểm $ I(a, b) $ đến đường thẳng $ Ax + By + C = 0 $ được tính theo công thức: $$ d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$ Ở đây, $ A = 3 $, $ B = -4 $, $ C = -6 $, $ a = 5 $, $ b = 6 $. Thay vào công thức, ta có: $$ d = \frac{|3 \cdot 5 + (-4) \cdot 6 - 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|15 - 24 - 6|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3 $$ 2. Xác định bán kính của đường tròn: Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $ d $, khoảng cách từ tâm $ I $ đến đường thẳng $ d $ chính là bán kính $ R $ của đường tròn. Do đó, $ R = 3 $. 3. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn tâm $ (a, b) $ và bán kính $ R $ là: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$ Ở đây, $ a = 5 $, $ b = 6 $, và $ R = 3 $. Thay vào, ta có: $$ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 3^2 $$ $$ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 9 $$ Vậy phương trình đường tròn là: $$ (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 9 $$ Câu 2. Để phương trình $x^2 + y^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình của một đường tròn, ta cần kiểm tra điều kiện để phương trình này có thể viết dưới dạng phương trình đường tròn chuẩn. Phương trình đường tròn chuẩn có dạng: $$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $$ Trước tiên, ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại: $$ x^2 - 2(m+2)x + y^2 + 4my + 19m - 6 = 0 $$ Ta thực hiện hoàn thành bình phương cho các nhóm $x$ và $y$: 1. Với $x$: $$ x^2 - 2(m+2)x = (x - (m+2))^2 - (m+2)^2 $$ 2. Với $y$: $$ y^2 + 4my = (y + 2m)^2 - (2m)^2 $$ Thay vào phương trình ban đầu: $$ (x - (m+2))^2 - (m+2)^2 + (y + 2m)^2 - (2m)^2 + 19m - 6 = 0 $$ Gộp các hằng số lại: $$ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 - (m+2)^2 - (2m)^2 + 19m - 6 = 0 $$ $$ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 - (m^2 + 4m + 4) - 4m^2 + 19m - 6 = 0 $$ $$ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 - m^2 - 4m - 4 - 4m^2 + 19m - 6 = 0 $$ $$ (x - (m+2))^2 + (y + 2m)^2 - 5m^2 + 15m - 10 = 0 $$ Để phương trình này là phương trình của một đường tròn, ta cần: $$ -5m^2 + 15m - 10 > 0 $$ Giải bất phương trình: $$ -5m^2 + 15m - 10 > 0 $$ $$ 5m^2 - 15m + 10 < 0 $$ $$ m^2 - 3m + 2 < 0 $$ Phương trình bậc hai $m^2 - 3m + 2 = 0$ có các nghiệm: $$ m = 1 \quad \text{và} \quad m = 2 $$ Do đó, bất phương trình $m^2 - 3m + 2 < 0$ đúng trong khoảng: $$ 1 < m < 2 $$ Vậy, điều kiện để phương trình $x^2 + y^2 - 2(m+2)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình của một đường tròn là: $$ 1 < m < 2 $$ Câu 3. Để tìm giá trị của $ m $ sao cho qua điểm $ A(2; m) $ chỉ có một tiếp tuyến với đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn: Ta có phương trình đường tròn: $$ x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0 $$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $: $$ (x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) = 4 $$ Hoàn thành bình phương: $$ (x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 4 $$ $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 $$ Vậy phương trình đường tròn chuẩn là: $$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3^2 $$ Đường tròn có tâm $ I(-1; 2) $ và bán kính $ R = 3 $. 2. Điều kiện để qua điểm $ A(2; m) $ chỉ có một tiếp tuyến: Để qua điểm $ A(2; m) $ chỉ có một tiếp tuyến với đường tròn, điểm $ A $ phải nằm trên đường tròn. Điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm $ A $ đến tâm $ I $ của đường tròn phải bằng bán kính $ R $. 3. Tính khoảng cách từ điểm $ A $ đến tâm $ I $: Khoảng cách giữa hai điểm $ A(2; m) $ và $ I(-1; 2) $ là: $$ IA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (m - 2)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (m - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (m - 2)^2} = \sqrt{9 + (m - 2)^2} $$ 4. Đặt điều kiện khoảng cách bằng bán kính: Để điểm $ A $ nằm trên đường tròn, ta có: $$ IA = R $$ Thay $ R = 3 $ vào, ta có: $$ \sqrt{9 + (m - 2)^2} = 3 $$ Bình phương cả hai vế: $$ 9 + (m - 2)^2 = 9 $$ $$ (m - 2)^2 = 0 $$ $$ m - 2 = 0 $$ $$ m = 2 $$ Vậy giá trị của $ m $ để qua điểm $ A(2; m) $ chỉ có một tiếp tuyến với đường tròn là $ m = 2 $. Câu 4. Đường thẳng $\Delta$ có dạng $x+2y-5=0$, suy ra vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(1,2)$. Đường thẳng $d$ song song với $\Delta$, do đó vectơ pháp tuyến của $d$ cũng là $\vec{n}=(1,2)$. Phương trình đường thẳng $d$ có dạng $x+2y+c=0$. Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C)$, khoảng cách từ tâm $I(6,7)$ đến đường thẳng $d$ phải bằng bán kính của đường tròn, tức là: $$ \frac{|6 + 2 \cdot 7 + c|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = 5 $$ $$ \frac{|6 + 14 + c|}{\sqrt{5}} = 5 $$ $$ \frac{|20 + c|}{\sqrt{5}} = 5 $$ $$ |20 + c| = 5 \sqrt{5} $$ Từ đây ta có hai trường hợp: 1. $20 + c = 5 \sqrt{5}$ 2. $20 + c = -5 \sqrt{5}$ Giải từng trường hợp: 1. $c = 5 \sqrt{5} - 20$ 2. $c = -5 \sqrt{5} - 20$ Vậy phương trình của đường thẳng $d$ là: 1. $x + 2y + 5 \sqrt{5} - 20 = 0$ 2. $x + 2y - 5 \sqrt{5} - 20 = 0$ Đáp số: 1. $x + 2y + 5 \sqrt{5} - 20 = 0$ 2. $x + 2y - 5 \sqrt{5} - 20 = 0$ Câu 5. Để lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm $ M(2;0) $, $ N(-2;0) $, và $ P(1;-1) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: Tâm của đường tròn là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác $ MNP $. - Đường trung trực của đoạn thẳng $ MN $: - Trung điểm của $ MN $ là $ \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (0, 0) $. - Đường thẳng $ MN $ nằm trên trục hoành, do đó đường trung trực của nó là trục tung $ x = 0 $. - Đường trung trực của đoạn thẳng $ MP $: - Trung điểm của $ MP $ là $ \left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) $. - Độ dốc của đoạn thẳng $ MP $ là $ \frac{-1 - 0}{1 - 2} = 1 $. - Độ dốc của đường trung trực là $ -1 $ (vì đường trung trực vuông góc với đoạn thẳng). - Phương trình đường trung trực của $ MP $ là: $$ y + \frac{1}{2} = -1 \left( x - \frac{3}{2} \right) $$ $$ y + \frac{1}{2} = -x + \frac{3}{2} $$ $$ y = -x + 1 $$ Giao điểm của hai đường trung trực $ x = 0 $ và $ y = -x + 1 $ là tâm của đường tròn: $$ x = 0 $$ $$ y = -0 + 1 = 1 $$ Vậy tâm của đường tròn là $ O(0, 1) $. 2. Tính bán kính của đường tròn: Bán kính $ R $ là khoảng cách từ tâm $ O(0, 1) $ đến một trong ba điểm $ M $, $ N $, hoặc $ P $. Ta tính khoảng cách từ $ O $ đến $ M $: $$ R = OM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $$ 3. Viết phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có tâm $ O(0, 1) $ và bán kính $ R = \sqrt{5} $ là: $$ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 $$ $$ x^2 + (y - 1)^2 = 5 $$ Vậy phương trình đường tròn (C) là: $$ x^2 + (y - 1)^2 = 5 $$ Câu 6. Để biết liệu người dùng điện thoại ở tọa độ $(2;2)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng wifi đặt ở tọa độ $(1;3)$ hay không, ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm này và so sánh với bán kính phủ sóng của trạm. Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm $(1;3)$ và $(2;2)$. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là: $$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ Áp dụng công thức này: $$ d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 3)^2} $$ $$ d = \sqrt{1^2 + (-1)^2} $$ $$ d = \sqrt{1 + 1} $$ $$ d = \sqrt{2} $$ Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tính với bán kính phủ sóng của trạm. Giả sử bán kính phủ sóng của trạm là $R$. Nếu khoảng cách $d$ nhỏ hơn hoặc bằng $R$, thì người dùng điện thoại có thể sử dụng dịch vụ của trạm. Trong trường hợp này, ta chưa biết bán kính phủ sóng cụ thể của trạm. Tuy nhiên, nếu ta giả sử bán kính phủ sóng của trạm là đủ lớn để bao phủ khoảng cách $\sqrt{2}$ km, thì người dùng điện thoại ở tọa độ $(2;2)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm. Kết luận: Người dùng điện thoại ở tọa độ $(2;2)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng wifi đặt ở tọa độ $(1;3)$ nếu bán kính phủ sóng của trạm đủ lớn để bao phủ khoảng cách $\sqrt{2}$ km.