giải hộ vs

Maianh2307

Mời bạn tham khảo:

Câu 27.

Cho phương trình $\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$.

a) Áp dụng công thức hạ bậc $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$ và $\sin^2 \beta = \frac{1 - \cos(2\beta)}{2}$, ta có:

Vế trái: $\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right)}{2} = \frac{1 + \cos(\pi - 2x)}{2}$.

Vế phải: $\sin^2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \cos\left(2\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}$.

Vậy phương trình trở thành $\frac{1 + \cos(\pi - 2x)}{2} = \frac{1 - \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}$.

Mệnh đề a) Đúng.

b) Ta có công thức $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$. Do đó, $\cos(\pi - 2x) = -\cos(2x)$.

Mệnh đề b) $\cos(\pi - 2x) = \cos 2x$ là Sai.

c) Từ phương trình ở câu a) và kết quả ở câu b), ta có:

$1 + \cos(\pi - 2x) = 1 - \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$

$\Leftrightarrow \cos(\pi - 2x) = -\cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$

$\Leftrightarrow -\cos(2x) = -\left(-\sin(6x)\right)$ (vì $\cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(6x)$)

$\Leftrightarrow -\cos(2x) = \sin(6x)$

$\Leftrightarrow \cos(2x) = -\sin(6x) = \sin(-6x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (-6x)\right) = \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Phương trình đã cho đưa về dạng $\cos(2x) = \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$, không phải là $\cos 2x = \cos 6x$.

Mệnh đề c) Sai.

d) Giải phương trình $\cos(2x) = \cos\left(6x + \frac{\pi}{2}\right)$:

Trường hợp 1: $2x = 6x + \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow -4x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{8} - k\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{8} + n\frac{\pi}{2}$ ($n=-k \in \mathbb{Z}$).

Trường hợp 2: $2x = -\left(6x + \frac{\pi}{2}\right) + k2\pi \Leftrightarrow 2x = -6x - \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow 8x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{4}$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Nghiệm của phương trình không phải là $x = k\frac{\pi}{4}$. Ví dụ, $x=0$ ($k=0$) không thỏa mãn phương trình ban đầu vì $\cos^2(\pi/2)=0$ và $\sin^2(\pi/4) = (\sqrt{2}/2)^2 = 1/2$.

Mệnh đề d) **Sai**.

Câu 28.

Cho phương trình $\cos 2x = \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$ với $x \in [0, \pi]$.

a) Sử dụng công thức phụ chéo $\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$, ta có $\cos 2x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)$.

Mệnh đề a) Đúng.

b) Từ câu a), phương trình đã cho tương đương với $\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$.

Giải phương trình $\sin A = \sin B$:

Trường hợp 1: $\frac{\pi}{2} - 2x = \frac{\pi}{4} - x + k2\pi \Leftrightarrow -x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow -x = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} - k2\pi$. Có thể viết là $x = \frac{\pi}{4} + m2\pi$ ($m=-k \in \mathbb{Z}$).

Trường hợp 2: $\frac{\pi}{2} - 2x = \pi - \left(\frac{\pi}{4} - x\right) + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} - 2x = \pi - \frac{\pi}{4} + x + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{2} - 2x = \frac{3\pi}{4} + x + k2\pi \Leftrightarrow -3x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow -3x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12} - k\frac{2\pi}{3}$. Có thể viết là $x = -\frac{\pi}{12} + n\frac{2\pi}{3}$ ($n=-k \in \mathbb{Z}$).

Các họ nghiệm là $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ và $x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{2\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Mệnh đề b) nói rằng nghiệm là $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ và $x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$. Họ nghiệm thứ hai được nêu trong mệnh đề là $x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$, đây chỉ là một tập con của họ nghiệm $x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{2\pi}{3}$ (ứng với $k=2, 5, 8, ...$ hoặc $k=-1, -4, ...$ nếu viết dạng $x = -\frac{\pi}{12} - k\frac{2\pi}{3}$). Ví dụ, $x = \frac{7\pi}{12}$ (ứng với $k=1$ trong họ nghiệm thứ hai) là nghiệm của phương trình nhưng không thuộc họ $x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$.

Mệnh đề b) Sai.

Tìm nghiệm thuộc đoạn $[0, \pi]$

Từ họ nghiệm $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$:

Cho $k=0$, ta được $x = \frac{\pi}{4}$. Vì $0 \le \frac{\pi}{4} \le \pi$, đây là một nghiệm.

Cho $k \ge 1$ hoặc $k \le -1$, $x$ không thuộc $[0, \pi]$.

Từ họ nghiệm $x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{2\pi}{3}$:

Cho $k=0$, $x = -\frac{\pi}{12} < 0$ (loại).

Cho $k=1$, $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{8\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$. Vì $0 \le \frac{7\pi}{12} \le \pi$, đây là một nghiệm.

Cho $k=2$, $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{4\pi}{3} = -\frac{\pi}{12} + \frac{16\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4} > \pi$ (loại).

Cho $k \ge 2$ hoặc $k \le 0$, $x$ không thuộc $[0, \pi]$.

Vậy các nghiệm của phương trình thuộc đoạn $[0, \pi]$ là $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{7\pi}{12}$.