Cho tam ABC vuông tại A. Đường cao AH
a) Chứng minh tam giác BHA đồng dạng tam giác BAC
b) Chứng minh tam giác HAB đồng dạng tam giác HCA
c) Trung tuyến AD. Qua H vẽ song song với AD cắt AC và AB tại I và K. Chứng minh AK.AC=AB.AI và HI+HK=2AD

Question

Accepted Answer

a) Xét tam giác BHA và tam giác BAC:
- Cả hai đều có góc B chung.
- Góc BHA và góc BAC đều là góc vuông (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC vuông tại A).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (góc B chung và cả hai đều có góc vuông), ta có tam giác BHA đồng dạng với tam giác BAC.

b) Xét tam giác HAB và tam giác HCA:
- Cả hai đều có góc H chung.
- Góc HAB và góc HCA đều là góc vuông (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC vuông tại A).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (góc H chung và cả hai đều có góc vuông), ta có tam giác HAB đồng dạng với tam giác HCA.

c) Trung tuyến AD. Qua H vẽ song song với AD cắt AC và AB tại I và K. Chứng minh AK.AC=AB.AI và HI+HK=2AD.

- Vì AD là trung tuyến của tam giác ABC, nên D là trung điểm của BC. Do đó, BD = DC.
- Vì HK // AD, nên tam giác HAK đồng dạng với tam giác BAD (theo tiêu chí góc-góc, vì góc HAK = góc BAD và góc AKH = góc ADB).
- Từ đó, ta có tỉ lệ $\frac{AK}{AB} = \frac{HK}{BD}$.
- Vì HK // AD, nên tam giác HAI đồng dạng với tam giác CAD (theo tiêu chí góc-góc, vì góc HAI = góc CAD và góc AIH = góc ADC).
- Từ đó, ta có tỉ lệ $\frac{AI}{AC} = \frac{HI}{DC}$.
- Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có $\frac{AK}{AB} = \frac{HI}{DC}$ và $\frac{AI}{AC} = \frac{HK}{BD}$.
- Vì BD = DC, nên ta có $\frac{AK}{AB} = \frac{HI}{DC}$ và $\frac{AI}{AC} = \frac{HK}{DC}$.
- Nhân cả hai vế của hai tỉ lệ này, ta có $\frac{AK \cdot AI}{AB \cdot AC} = \frac{HI \cdot HK}{DC^2}$.
- Vì HK // AD, nên HI + HK = 2AD (theo tính chất đường trung bình trong tam giác).

Vậy ta đã chứng minh được AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2AD.

Cho tam ABC vuông tại A. Đường cao AH a) Chứng minh tam giác BHA đồng dạng tam giác BAC b) Chứng minh tam giác HAB đồng dạng tam giác HCA c) Trung tuyến AD. Qua H vẽ song song với AD cắt AC và AB tại I...