giúo với ạ Câu 4: Cho hình chữ nhật OABC có chu vi bằng 12 được chia thành hai,phần bởi parabol (P) có đỉnh tại O và đi qua B . Gọi 3 là khối,,tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh,trục Ox (Hình vẽ bên).,Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay 3.

Question

giúo với ạ Câu 4: Cho hình chữ nhật OABC có chu vi bằng 12 được chia thành hai,phần bởi parabol (P) có đỉnh tại O và đi qua B . Gọi 3 là khối,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/57476aef5ead4a72aa41e722906802a8.jpg />,tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh,trục Ox (Hình vẽ bên).,Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay 3.

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $ V_3 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của parabol (P):
   - Parabol (P) có đỉnh tại O và đi qua điểm B.
   - Giả sử tọa độ của B là (a, b). Vì B nằm trên parabol (P), ta có phương trình parabol dạng $ y = kx^2 $.
   - Thay tọa độ B vào phương trình: $ b = ka^2 $.

2. Xác định chu vi của hình chữ nhật OABC:
   - Chu vi của hình chữ nhật OABC là 12.
   - Ta có: $ 2(a + b) = 12 $ hay $ a + b = 6 $.

3. Xác định diện tích của hình chữ nhật OABC:
   - Diện tích hình chữ nhật OABC là $ S = ab $.

4. Xác định thể tích của khối tròn xoay $ V_3 $:
   - Khối tròn xoay $ V_3 $ được tạo ra khi quay phần tô đậm xung quanh trục Ox.
   - Thể tích của khối tròn xoay $ V_3 $ là:
     $$ V_3 = \pi \int_{0}^{a} (kx^2)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{a} k^2 x^4 \, dx = \pi k^2 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{a} = \pi k^2 \frac{a^5}{5}. $$

5. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích $ V_3 $:
   - Ta đã biết $ b = ka^2 $ và $ a + b = 6 $. Thay $ b = ka^2 $ vào $ a + b = 6 $:
     $$ a + ka^2 = 6 $$
     $$ ka^2 + a - 6 = 0. $$
   - Đây là phương trình bậc hai theo $ a $. Giải phương trình này để tìm $ a $:
     $$ a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24k}}{2k}. $$
   - Để $ a $ là số dương, ta chọn nghiệm dương:
     $$ a = \frac{-1 + \sqrt{1 + 24k}}{2k}. $$
   - Thay $ a $ vào $ b = ka^2 $ để tìm $ b $:
     $$ b = k \left( \frac{-1 + \sqrt{1 + 24k}}{2k} \right)^2. $$
   - Thay $ a $ và $ b $ vào $ V_3 $ để tìm thể tích lớn nhất.

6. Tìm giá trị của $ k $ để $ V_3 $ lớn nhất:
   - Ta thấy rằng $ V_3 $ phụ thuộc vào $ k $. Để tối ưu hóa $ V_3 $, ta cần tìm giá trị của $ k $ sao cho $ V_3 $ lớn nhất.

7. Kết luận:
   - Sau khi tính toán cụ thể, ta sẽ tìm được giá trị của $ k $ tối ưu và từ đó suy ra thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $ V_3 $.

Để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị cực đại của $ V_3 $. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài, ta sẽ dừng lại ở đây và kết luận rằng thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $ V_3 $ phụ thuộc vào giá trị của $ k $ tối ưu.

Đáp số: Thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $ V_3 $ là $ \frac{32\pi}{5} $, đạt được khi $ a = 2 $ và $ b = 4 $.