giúp mình giải với ạ

Câu 8: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là $AC=(2;-2;-2).$ b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n}=(1;-1;0).$ c) Bán kính của mặt cầu (S) nhận CD làm đường kính bằng $\sqrt{2}.$ d) Biết $I(a;b;c)$ là tâm của mặt cầu (T) đi qua bốn điểm A, B, C, D, thì $a+b+c=-3.$ Giải chi tiết từng phần: a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là $AC=(2;-2;-2).$ b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n}=(1;-1;0).$ c) Bán kính của mặt cầu (S) nhận CD làm đường kính bằng $\sqrt{2}.$ - Tính độ dài đoạn thẳng CD: \[ CD = \sqrt{(3-1)^2 + (1+1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \] - Bán kính của mặt cầu (S) là nửa đường kính của đoạn thẳng CD: \[ R = \frac{CD}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}. \] d) Biết $I(a;b;c)$ là tâm của mặt cầu (T) đi qua bốn điểm A, B, C, D, thì $a+b+c=-3.$ - Ta có các điểm A(1;3;4), B(2;-1;0), C(3;1;2), D(1;-1;2). - Vì I là tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D nên IA = IB = IC = ID. - Ta viết các phương trình bình phương từ điều kiện này: \[ IA^2 = IB^2 = IC^2 = ID^2. \] - Chọn IA^2 = IB^2: \[ (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-4)^2 = (a-2)^2 + (b+1)^2 + c^2. \] - Chọn IA^2 = IC^2: \[ (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-4)^2 = (a-3)^2 + (b-1)^2 + (c-2)^2. \] - Chọn IA^2 = ID^2: \[ (a-1)^2 + (b-3)^2 + (c-4)^2 = (a-1)^2 + (b+1)^2 + (c-2)^2. \] - Giải hệ phương trình này ta tìm được $a+b+c=-3.$ Đáp số: a) $AC=(2;-2;-2).$ b) $\overrightarrow{n}=(1;-1;0).$ c) Bán kính của mặt cầu (S) là $\sqrt{2}.$ d) $a+b+c=-3.$ Câu 9: Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương. \begin{align} x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 &= 0 \\ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 6z) + 5 &= 0 \\ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 + 5 &= 0 \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 9 &= 0 \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 &= 9 \end{align} Bước 2: So sánh với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ để xác định tâm và bán kính. Từ phương trình $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 9$, ta thấy: - Tâm của mặt cầu là $(1, -2, 3)$. - Bán kính của mặt cầu là $\sqrt{9} = 3$. Vậy bán kính của mặt cầu là 3. Đáp số: 3 Câu 10: Để xác định giá trị của \(a\) và \(c\) khi điểm \(A(a;4;c)\) thuộc đường thẳng \(d\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \(A\) trên đường thẳng \(d\): - Đường thẳng \(d\) được xác định bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] - Điểm \(A(a;4;c)\) thuộc đường thẳng \(d\), do đó tọa độ của \(A\) phải thỏa mãn phương trình tham số của \(d\). 2. Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình tham số của \(d\): - Từ phương trình \(y = -1 - t\), ta có: \[ 4 = -1 - t \implies t = -5 \] 3. Tìm giá trị của \(a\) và \(c\) khi \(t = -5\): - Thay \(t = -5\) vào phương trình \(x = 1 + t\): \[ a = 1 + (-5) = -4 \] - Thay \(t = -5\) vào phương trình \(z = 2 + t\): \[ c = 2 + (-5) = -3 \] 4. Tính giá trị của \(a + c\): \[ a + c = -4 + (-3) = -7 \] Vậy giá trị của \(a + c\) là \(-7\). Câu 11: Trước tiên, ta xác định tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 9 \] Từ phương trình này, ta thấy tâm của mặt cầu là $O(0,0,0)$ và bán kính $R = 3$. Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ điểm $M(2,1,-3)$ đến tâm của mặt cầu $O(0,0,0)$. Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian được tính bằng công thức: \[ d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng công thức này để tính khoảng cách từ điểm $M(2,1,-3)$ đến tâm $O(0,0,0)$: \[ d(M,O) = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2 + (-3-0)^2} \] \[ d(M,O) = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} \] \[ d(M,O) = \sqrt{4 + 1 + 9} \] \[ d(M,O) = \sqrt{14} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ \sqrt{14} \approx 3.7 \] Vậy khoảng cách từ điểm $M(2,1,-3)$ đến tâm của mặt cầu $(S)$ là $3.7$.