Hhioiiiiikknnvcc Câu 18,Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên,mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân,bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và,được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối,đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines,đang chuyển động theo đường thẳng d có phương,trình $\left\{\begin{array}{cl}x=-1000+100t&\y=-200+80t&(t\in\mathbb R)\z=10&\end{array} ight.$ và hướng,về đài kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách ngắn,nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu (làm,tròn đến hàng đơn vị),Nhập đáp án,Đáp án của bạn,Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định,dạng là A/B. VD: 12/3,Câu 19

Question

Hhioiiiiikknnvcc Câu 18,Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên,mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân,bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và,được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối,đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines,đang chuyển động theo đường thẳng d có phương,trình $\left\{\begin{array}{cl}x=-1000+100t&\y=-200+80t&(t\in\mathbb R)\z=10&\end{array}ight.$ và hướng,về đài kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách ngắn,nhất giữa máy bay với đài kiểm soát không lưu (làm,tròn đến hàng đơn vị),Nhập đáp án,Đáp án của bạn,Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định,dạng là A/B. VD: 12/3,Câu 19

Accepted Answer

Để tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu, ta cần tìm điểm trên đường thẳng d gần nhất với gốc tọa độ O(0,0,0).

Phương trình đường thẳng d:
$$ 
\left\{
\begin{array}{cl}
x = -1000 + 100t \
y = -200 + 80t \
z = 10
\end{array}
\right.
$$

Khoảng cách từ điểm M(x,y,z) trên đường thẳng d đến gốc tọa độ O(0,0,0) là:
$$ 
OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$

Thay phương trình của d vào:
$$ 
OM = \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2}
$$

Ta cần tìm giá trị của t để OM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của OM theo t và tìm điểm cực tiểu.

Gọi $ f(t) = OM^2 $:
$$ 
f(t) = (-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2
$$

Tính đạo hàm $ f'(t) $:
$$ 
f'(t) = 2(-1000 + 100t) \cdot 100 + 2(-200 + 80t) \cdot 80
$$
$$ 
f'(t) = 20000(-1000 + 100t) + 16000(-200 + 80t)
$$
$$ 
f'(t) = -20000000 + 2000000t - 3200000 + 1280000t
$$
$$ 
f'(t) = 3280000t - 23200000
$$

Đặt $ f'(t) = 0 $:
$$ 
3280000t - 23200000 = 0
$$
$$ 
3280000t = 23200000
$$
$$ 
t = \frac{23200000}{3280000} = \frac{232}{32.8} = 7
$$

Thay $ t = 7 $ vào phương trình của d để tìm tọa độ điểm M:
$$ 
x = -1000 + 100 \cdot 7 = -1000 + 700 = -300
$$
$$ 
y = -200 + 80 \cdot 7 = -200 + 560 = 360
$$
$$ 
z = 10
$$

Khoảng cách OM khi $ t = 7 $:
$$ 
OM = \sqrt{(-300)^2 + 360^2 + 10^2}
$$
$$ 
OM = \sqrt{90000 + 129600 + 100}
$$
$$ 
OM = \sqrt{219700}
$$
$$ 
OM \approx 468.7
$$

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là khoảng 469 km.