Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc xOy. Gọi B và C là 2 điểm lần lượt trên Ox và Oy(O và A là 2 điểm thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ BC). Biết tam giác ABC là tam giác vuông cân ở A. Chứng minh rằng OA...

Đào Vĩnh An.

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ AB = AC và góc BAC = 90°.

Do tam giác ABC vuông cân tại A, nên tam giác này có góc A = 90°, hai cạnh AB và AC bằng nhau và vuông góc với nhau.

Gọi D là hình chiếu vuông góc của A lên BC ⇒ AD ⊥ BC. Vì tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ AD là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác và trung tuyến.

Do đó:

AB = AC ⇒ tam giác cân tại A ⇒ đường cao AD cũng là đường phân giác của góc BAC.

Mà góc BAC = 90° ⇒ tia phân giác của góc BAC là tia OA.

Vì góc xOy là góc vuông (90°), và A nằm trong góc đó, nên nếu OA là tia phân giác của góc xOy thì góc xOA = góc yOA = 45°.

Ta có tam giác ABC vuông tại A ⇒ góc BÂC = 90°

Lại có AB = AC ⇒ góc ABC = góc ACB = 45°

Suy ra: góc OAB = góc OAC = 45° ⇒ tia OA tạo với Ox và Oy hai góc bằng nhau ⇒ OA là tia phân giác của góc xOy.

Điều phải chứng minh.