Giúp với ạ

Câu 1. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 \), ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( x^n \): \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Bước 2: Áp dụng công thức trên cho hàm số \( f(x) = 2x^3 \): \[ \int 2x^3 \, dx = 2 \int x^3 \, dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \] Bước 4: Nhân kết quả với 2: \[ 2 \int x^3 \, dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{2x^4}{4} = \frac{x^4}{2} \] Bước 5: Thêm hằng số nguyên hàm \( C \): \[ \int 2x^3 \, dx = \frac{x^4}{2} + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^4}{2} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{x^4}{2} + C$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa hàm số và đạo hàm của nó, cũng như nguyên hàm của đạo hàm đó. - Nguyên hàm của một hàm số \( g(x) \) là một hàm số \( G(x) \) sao cho đạo hàm của \( G(x) \) là \( g(x) \). Ta viết: \[ G(x) = \int g(x) \, dx + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. - Đạo hàm của một hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) \). Trong câu hỏi, chúng ta có hàm số \( f(x) \) và đạo hàm của nó là \( f'(x) \). Chúng ta cần tìm mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho. A. \( \int f(x) \, dx = f'(x) + C \) B. \( \int f'(x) \, dx = f(x) + C \) C. \( \int f(x) \, dx = f'(x) \) D. \( \int f'(x) \, dx = f(x) \) Theo định nghĩa của nguyên hàm, nguyên hàm của đạo hàm của một hàm số sẽ là chính hàm số đó cộng thêm một hằng số tích phân. Do đó, mệnh đề đúng là: B. \( \int f'(x) \, dx = f(x) + C \) Vậy, đáp án đúng là: B. \( \int f'(x) \, dx = f(x) + C \) Câu 3. Ta có: \[ \int^2_1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int^2_1 f(x) \, dx - \int^2_1 g(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^2_1 f(x) \, dx = 3 \] \[ \int^2_1 g(x) \, dx = 6 \] Do đó: \[ \int^2_1 [f(x) - g(x)] \, dx = 3 - 6 = -3 \] Vậy đáp án đúng là: B. -3. Câu 4. Giá trị của $\int^5_0f(x)dx + 5$ là: \[ \int^5_0f(x)dx + 5 = -1 + 5 = 4 \] Đáp án đúng là: D. 4. Câu 5. Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~x+3y+5=0$ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của x, y và hằng số trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $(P):~x+3y+5=0$ có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó: - a = 1 (hệ số của x) - b = 3 (hệ số của y) - c = 0 (không có z, tức là hệ số của z là 0) Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (1, 3, 0)$. Trong các lựa chọn đã cho: A. $\overrightarrow{n}_1 = (1, -3, 5)$ B. $\overrightarrow{n}_2 = (1, 3, 0)$ C. $\overrightarrow{n}_3 = (1, 3, -5)$ D. $\overrightarrow{n}_4 = (-1, 3, 0)$ Chúng ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là $\overrightarrow{n}_2 = (1, 3, 0)$. Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{n}_2 = (1, 3, 0)$. Câu 6. Để tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, ta áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay. Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) \) là hàm số giới hạn trên của hình phẳng (H), và \( a \) và \( b \) là cận dưới và cận trên của đoạn quay. Trong bài này, hàm số \( f(x) = 2x - x^2 \) và đoạn quay từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Áp dụng công thức vào bài toán: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \) Đáp án: C. \( V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \) Câu 7: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) được cho bởi phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 + 2t \\ z = 4 - 5t \end{array} \right. \] Ta nhận thấy rằng trong phương trình tham số này, \(x\) không phụ thuộc vào tham số \(t\), còn \(y\) và \(z\) phụ thuộc vào \(t\) theo các hệ số 2 và -5 tương ứng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((0; 2; -5)\). Bây giờ, ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: A. \(\overrightarrow{u_1} = (2; 3; 4)\) B. \(\overrightarrow{u_2} = (0; 2; -5)\) C. \(\overrightarrow{u_3} = (2; 2; -5)\) D. \(\overrightarrow{u} = (2; -2; -5)\) Trong các lựa chọn trên, chỉ có \(\overrightarrow{u_2} = (0; 2; -5)\) đúng là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là: B. \(\overrightarrow{u_2} = (0; 2; -5)\)