Gaii dao cau hoi

Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua điểm $M(1;-3;4)$ vuông góc với đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $(P)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + z - 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n_P} = (2, 0, 1)$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$: Đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x+2}{3} = \frac{y-5}{-5} = \frac{z-2}{-1}$. Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u_d} = (3, -5, -1)$. 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì $\Delta$ vuông góc với $d$, vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải vuông góc với $\vec{u_d}$. Vì $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P)$, vectơ chỉ phương của $\Delta$ phải nằm trong mặt phẳng $(P)$, tức là vuông góc với $\vec{n_P}$. Ta tìm vectơ $\vec{u_\Delta}$ bằng cách lấy tích vô hướng của $\vec{u_d}$ và $\vec{n_P}$: \[ \vec{u_\Delta} = \vec{u_d} \times \vec{n_P} \] Tính tích vô hướng: \[ \vec{u_\Delta} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -5 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-5)(1) - (-1)(0)) - \vec{j}((3)(1) - (-1)(2)) + \vec{k}((3)(0) - (-5)(2)) \] \[ \vec{u_\Delta} = \vec{i}(-5) - \vec{j}(3 + 2) + \vec{k}(10) \] \[ \vec{u_\Delta} = (-5, -5, 10) \] 4. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1, -3, 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_\Delta} = (-5, -5, 10)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là: \[ \frac{x-1}{-5} = \frac{y+3}{-5} = \frac{z-4}{10} \] Để đơn giản hóa, ta có thể chia cả tử và mẫu cho 5: \[ \frac{x-1}{-1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-4}{2} \] Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là: \[ \boxed{\Delta: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-4}{2}} \] Đáp án đúng là: B. $\Delta: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-4}{2}$. Câu 11: Để viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, ta cần tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp. Bước 1: Tìm tâm I của mặt cầu ngoại tiếp Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là điểm cách đều 4 đỉnh A, B, C, D. Ta sẽ sử dụng phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng cách giải hệ phương trình. Gọi tâm mặt cầu là \(I(a, b, c)\). Ta có: \[ IA = IB = IC = ID \] Tính khoảng cách từ I đến các đỉnh: \[ IA^2 = (a - 3)^2 + (b - 4)^2 + c^2 \] \[ IB^2 = (a - 2)^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 \] \[ IC^2 = (a + 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \] \[ ID^2 = (a - 3)^2 + (b - 5)^2 + (c - 3)^2 \] Bước 2: Lập hệ phương trình \[ (a - 3)^2 + (b - 4)^2 + c^2 = (a - 2)^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 \] \[ (a - 3)^2 + (b - 4)^2 + c^2 = (a + 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \] \[ (a - 3)^2 + (b - 4)^2 + c^2 = (a - 3)^2 + (b - 5)^2 + (c - 3)^2 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Sau khi giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ tâm I là \(I(1, 3, 2)\). Bước 4: Tính bán kính R Bán kính R là khoảng cách từ tâm I đến bất kỳ đỉnh nào của tứ diện, ví dụ đỉnh A: \[ R = IA = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 - 4)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Bước 5: Viết phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: B. $(x-1)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=9$. Câu 12: Để tính xác suất người đó bị bệnh đau dạ dày biết người đó là nữ, ta cần sử dụng xác suất điều kiện. Bước 1: Xác định số lượng người nữ bị bệnh đau dạ dày và tổng số người nữ. - Số người nữ bị bệnh đau dạ dày: 10 người. - Tổng số người nữ: 40 người. Bước 2: Tính xác suất người đó bị bệnh đau dạ dày biết người đó là nữ. Xác suất này được tính bằng cách chia số người nữ bị bệnh đau dạ dày cho tổng số người nữ: \[ P(\text{bị bệnh đau dạ dày} | \text{nữ}) = \frac{\text{số người nữ bị bệnh đau dạ dày}}{\text{tổng số người nữ}} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \] Vậy xác suất người đó bị bệnh đau dạ dày biết người đó là nữ là $\frac{1}{4}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{1}{4}$. Câu 1: Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Ta cần kiểm tra xem $\int f^2(x)dx$ có bằng $e^x - e^{-x} + 2x$ hay không. $f(x) = \sqrt{e^x + e^{-x} + 2}$ $f^2(x) = e^x + e^{-x} + 2$ $\int f^2(x)dx = \int (e^x + e^{-x} + 2) dx = e^x - e^{-x} + 2x + C$ Như vậy, khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) Ta cần kiểm tra xem $F(1) = 2\sqrt{e} + 1$ hay không. Đầu tiên, ta cần tìm $F(x)$. Ta biết rằng $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0) = 1$. $f(x) = \sqrt{e^x + e^{-x} + 2}$ Ta thấy rằng $f(x)$ có dạng phức tạp, nhưng ta có thể dựa vào điều kiện $F(0) = 1$ để kiểm tra. Giả sử $F(x) = \int f(x) dx$, ta cần kiểm tra $F(1)$: $F(1) = \int_0^1 f(x) dx + F(0)$ Do $F(0) = 1$, ta cần tính $\int_0^1 f(x) dx$. $f(x) = \sqrt{e^x + e^{-x} + 2}$ Ta thấy rằng $f(x)$ có dạng phức tạp, nhưng ta có thể dựa vào điều kiện $F(0) = 1$ để kiểm tra. Giả sử $F(x) = \sqrt{e^x - e^{-x} + 2x} + 1$, ta cần kiểm tra $F(1)$: $F(1) = \sqrt{e^1 - e^{-1} + 2 \cdot 1} + 1 = \sqrt{e - \frac{1}{e} + 2} + 1$ Ta thấy rằng $\sqrt{e - \frac{1}{e} + 2} + 1 \neq 2\sqrt{e} + 1$, nên khẳng định b) là sai. Khẳng định c) Ta cần kiểm tra xem $F(x) = \sqrt{e^x - e^{-x} + 2x} + 1$ hay không. Ta đã thấy rằng $F(x)$ có dạng phức tạp, nhưng ta có thể dựa vào điều kiện $F(0) = 1$ để kiểm tra. Giả sử $F(x) = \sqrt{e^x - e^{-x} + 2x} + 1$, ta cần kiểm tra $F(0)$: $F(0) = \sqrt{e^0 - e^0 + 2 \cdot 0} + 1 = \sqrt{1 - 1 + 0} + 1 = 1$ Như vậy, khẳng định c) là đúng. Khẳng định d) Ta cần kiểm tra xem phương trình $F(x) = 2e^{\frac{\pi}{2}} - 3$ có nghiệm duy nhất $x = -2\ln2$ hay không. Giả sử $F(x) = \sqrt{e^x - e^{-x} + 2x} + 1$, ta cần kiểm tra $F(-2\ln2)$: $F(-2\ln2) = \sqrt{e^{-2\ln2} - e^{2\ln2} + 2(-2\ln2)} + 1 = \sqrt{\frac{1}{4} - 4 - 4\ln2} + 1$ Ta thấy rằng $\sqrt{\frac{1}{4} - 4 - 4\ln2} + 1 \neq 2e^{\frac{\pi}{2}} - 3$, nên khẳng định d) là sai. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 2: a) Đúng vì vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(-2;2;1)$ b) Đúng vì vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}=(1;1;0)$ và vectơ pháp tuyến của (Oyz) là $\overrightarrow{n'}=(1;0;0)$ Ta có $\cos (\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'})=\frac{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{n'}|}=\frac{1}{\sqrt{2}.1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Oyz) bằng $45^0$ c) Đúng vì đường thẳng đi qua $N(2;3;-4)$ và song song với $\Delta$ có phương trình là $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-3}2=\frac{z+4}1$ d) Sai vì đường thẳng d vuông góc với $\Delta$ thì $\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u}=0$ suy ra $-2+2\times (-2)+1\times 4=0$ Mặt khác đường thẳng d tạo với (P) một góc $45^0$ thì: $\sin 45^0=\frac{|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u_1}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|1-2+0|}{\sqrt{21}.\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{21}}$ (loại) Vậy d sai. Câu 3: Để kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định về mặt cầu (S), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) Phương trình mặt cầu (S) được cho là: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z - 2 = 0 \] Ta viết lại phương trình này dưới dạng tổng bình phương: \[ (x^2 - 2x) + y^2 + (z^2 + 2z) = 2 \] Hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 - 1 + y^2 + (z + 1)^2 - 1 = 2 \] \[ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 4 \] Từ đây, ta thấy rằng mặt cầu có tâm \( I(1; 0; -1) \) và bán kính \( R = 2 \). 2. Kiểm tra khẳng định a) Khẳng định a) nói rằng mặt cầu (S) có bán kính \( R = 2 \). Từ bước trên, ta đã xác định được bán kính của mặt cầu là 2. Do đó, khẳng định a) là đúng. Kết luận: Khẳng định a) là đúng vì mặt cầu (S) có bán kính \( R = 2 \).