ggggggdrtfffgytff

Câu 9. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$, $y=3x$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: Ta giải phương trình: \[ x^3 - x = 3x \] \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x-2)(x+2) = 0 \] Vậy các giao điểm là $x = 0$, $x = 2$, và $x = -2$. Tuy nhiên, trong khoảng từ $x=0$ đến $x=3$, chỉ có giao điểm $x = 0$ và $x = 2$. 2. Xác định phần diện tích cần tính: Diện tích cần tính nằm giữa các đường thẳng $x=0$, $x=3$ và giới hạn bởi hai đồ thị $y=x^3-x$ và $y=3x$. 3. Tính diện tích: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ $x=0$ đến $x=2$ và từ $x=2$ đến $x=3$ là: \[ S = \int_{0}^{2} (3x - (x^3 - x)) \, dx + \int_{2}^{3} ((x^3 - x) - 3x) \, dx \] Ta tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int_{0}^{2} (3x - x^3 + x) \, dx = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx \] \[ = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \] \[ = \left( 2(2)^2 - \frac{(2)^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{(0)^4}{4} \right) \] \[ = \left( 8 - 4 \right) - 0 \] \[ = 4 \] \[ \int_{2}^{3} (x^3 - x - 3x) \, dx = \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{2}^{3} \] \[ = \left( \frac{(3)^4}{4} - 2(3)^2 \right) - \left( \frac{(2)^4}{4} - 2(2)^2 \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - 18 \right) - \left( \frac{16}{4} - 8 \right) \] \[ = \left( \frac{81}{4} - \frac{72}{4} \right) - \left( 4 - 8 \right) \] \[ = \frac{9}{4} + 4 \] \[ = \frac{9}{4} + \frac{16}{4} \] \[ = \frac{25}{4} \] Tổng diện tích là: \[ S = 4 + \frac{25}{4} = \frac{16}{4} + \frac{25}{4} = \frac{41}{4} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$, $y=3x$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$ là $\frac{41}{4}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{41}{4}$. Câu 10. Để tìm xác suất điều kiện \( P(A | B) \), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A \cap B) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B xảy ra cùng lúc, được cho là 0,2. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B, được cho là 0,6. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Vậy xác suất \( P(A | B) \) là \(\frac{1}{3}\). Do đó, đáp án đúng là: C. $\frac{1}{3}$. Câu 11. Ta có: \[ \int_{2}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(2) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ F(4) = 12 \quad \text{và} \quad F(2) = 6 \] Do đó: \[ \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 12 - 6 = 6 \] Vậy giá trị của $\int_{2}^{4} f(x) \, dx$ là 6. Đáp án đúng là: C. 6. Câu 12. Để xác định điểm nào không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị, ta cần kiểm tra khoảng cách từ mỗi điểm đến điểm A(30;0;0) và so sánh với bán kính 50m của vùng phủ sóng. - Với điểm Q(0;-20;0): \[ d(A, Q) = \sqrt{(30 - 0)^2 + (0 + 20)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{900 + 400} = \sqrt{1300} \approx 36.06 < 50 \] Vậy điểm Q thuộc vùng phủ sóng. - Với điểm M(50;0;0): \[ d(A, M) = \sqrt{(30 - 50)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{400} = 20 < 50 \] Vậy điểm M thuộc vùng phủ sóng. - Với điểm P(-10;30;10): \[ d(A, P) = \sqrt{(30 + 10)^2 + (0 - 30)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{1600 + 900 + 100} = \sqrt{2600} \approx 51.0 > 50 \] Vậy điểm P không thuộc vùng phủ sóng. - Với điểm N(30;-15;1): \[ d(A, N) = \sqrt{(30 - 30)^2 + (0 + 15)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0 + 225 + 1} = \sqrt{226} \approx 15.03 < 50 \] Vậy điểm N thuộc vùng phủ sóng. Như vậy, điểm không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị là: C. P(-10;30;10). Câu 1. a) Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình $(H_2)$ quanh trục Ox: \[ V = \pi \int_{0}^{2} y^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} (-x^3 + x^2 + 2x)^2 \, dx \] Ta thực hiện phép nhân và tích phân: \[ (-x^3 + x^2 + 2x)^2 = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 4x^3 + 4x^2 \] Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 4x^3 + 4x^2) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{0}^{2} x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \frac{2^7}{7} = \frac{128}{7} \] \[ \int_{0}^{2} -2x^5 \, dx = \left[ -\frac{2x^6}{6} \right]_{0}^{2} = -\frac{2 \cdot 2^6}{6} = -\frac{128}{3} \] \[ \int_{0}^{2} -3x^4 \, dx = \left[ -\frac{3x^5}{5} \right]_{0}^{2} = -\frac{3 \cdot 2^5}{5} = -\frac{96}{5} \] \[ \int_{0}^{2} 4x^3 \, dx = \left[ \frac{4x^4}{4} \right]_{0}^{2} = 2^4 = 16 \] \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = \left[ \frac{4x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{4 \cdot 2^3}{3} = \frac{32}{3} \] Tổng lại: \[ V = \pi \left( \frac{128}{7} - \frac{128}{3} - \frac{96}{5} + 16 + \frac{32}{3} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số chung: \[ V = \pi \left( \frac{128 \cdot 15}{105} - \frac{128 \cdot 35}{105} - \frac{96 \cdot 21}{105} + \frac{16 \cdot 105}{105} + \frac{32 \cdot 35}{105} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{1920 - 4480 - 2016 + 1680 + 1120}{105} \right) = \pi \left( \frac{-2876 + 2800}{105} \right) = \pi \left( \frac{-76}{105} \right) = \frac{464}{105} \pi \] Vậy a) đúng. b) Diện tích của hình $(H_1)$: \[ S_1 = \int_{-1}^{0} (-x^3 + x^2 + 2x) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{-1}^{0} -x^3 \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} \] \[ \int_{-1}^{0} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \] \[ \int_{-1}^{0} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - 1 = -1 \] Tổng lại: \[ S_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{12}{12} = -\frac{5}{12} \] Vậy b) sai. c) Diện tích của hình $(H_2)$: \[ S_2 = \int_{0}^{2} | -x^3 + x^2 + 2x | \, dx \] Phân tích biểu thức: \[ -x^3 + x^2 + 2x = -x(x^2 - x - 2) = -x(x-2)(x+1) \] Biểu thức này âm từ 0 đến 1 và dương từ 1 đến 2. Do đó: \[ S_2 = \int_{0}^{1} (-x^3 + x^2 + 2x) \, dx + \int_{1}^{2} -( -x^3 + x^2 + 2x ) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{1} (-x^3 + x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{11}{12} \] \[ \int_{1}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{1}^{2} = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 \right) = -\frac{8}{3} + \frac{11}{12} = \frac{11}{12} \] Tổng lại: \[ S_2 = \frac{11}{12} + \frac{11}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6} \] Tổng diện tích: \[ S_1 + S_2 = -\frac{5}{12} + \frac{11}{6} = -\frac{5}{12} + \frac{22}{12} = \frac{17}{12} \neq \frac{9}{4} \] Vậy c) sai. d) So sánh $S_2$ và $6S_1$: \[ 6S_1 = 6 \times -\frac{5}{12} = -\frac{30}{12} = -\frac{5}{2} \] \[ S_2 = \frac{11}{6} \] So sánh: \[ \frac{11}{6} > -\frac{5}{2} \] Vậy d) đúng. Đáp án: a) và d) đúng.