Qưertyuiop

Câu 11. Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm \( M(2, -3, -1) \) và \( N(5, -1, 3) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng: Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( M \) và \( N \) là: \[ \overrightarrow{MN} = (5 - 2, -1 + 3, 3 + 1) = (3, 2, 4) \] 2. Lập phương trình đường thẳng: Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( M(2, -3, -1) \) và có vector chỉ phương \( \overrightarrow{MN} = (3, 2, 4) \) là: \[ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 1}{4} \] Do đó, phương án đúng là: \[ A.~\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{4} \] Đáp án: \( A.~\frac{x-2}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+1}{4} \) Câu 12. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(-1;3;2)$ và bán kính $R=2$ là: \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 2^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 4 \] Do đó, phương án đúng là: \[ B.~(x+1)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=4. \] Câu 1. a) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng 11. Để kiểm tra mệnh đề này, ta tính khoảng cách từ điểm M(-2, k1) đến mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 5 = 0. Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 là: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|(-2) - 2k1 + 2(1) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|-2 - 2k1 + 2 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|5 - 2k1|}{3} \] Để khoảng cách bằng 11: \[ \frac{|5 - 2k1|}{3} = 11 \] \[ |5 - 2k1| = 33 \] \[ 5 - 2k1 = 33 \quad \text{hoặc} \quad 5 - 2k1 = -33 \] \[ -2k1 = 28 \quad \text{hoặc} \quad -2k1 = -38 \] \[ k1 = -14 \quad \text{hoặc} \quad k1 = 19 \] Vậy mệnh đề này sai vì không có giá trị nào của k1 thỏa mãn điều kiện. b) Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) là x - 2x + 4y - 4x + 3 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) là x - 2y + 2z + 5 = 0. Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có cùng vectơ pháp tuyến (1, -2, 2). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(-2, k1) và có vectơ pháp tuyến (1, -2, 2) là: \[ 1(x + 2) - 2(y - k1) + 2(z - 1) = 0 \] \[ x + 2 - 2y + 2k1 + 2z - 2 = 0 \] \[ x - 2y + 2z + 2k1 = 0 \] Phương trình đã cho là x - 2x + 4y - 4x + 3 = 0, điều này không đúng vì nó không có dạng x - 2y + 2z + 2k1 = 0. Vậy mệnh đề này sai. c) Đường thẳng a đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là \(\Delta: \left\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 5 + 2t \end{array}\right.\) Đường thẳng a đi qua điểm M(-2, k1) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ chỉ phương là (1, -2, 2). Phương trình tham số của đường thẳng a là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = k1 - 2t \\ z = 1 + 2t \end{array}\right. \] Phương trình đã cho là \(\left\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 5 + 2t \end{array}\right.\), điều này không đúng vì nó không đi qua điểm M(-2, k1). Vậy mệnh đề này sai. d) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P). Tọa độ của H là H(-1, 2, 3). Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần tìm tọa độ của điểm H là hình chiếu của điểm M(-2, k1) lên mặt phẳng (P). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = k1 - 2t \\ z = 1 + 2t \end{array}\right. \] Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \[ (-2 + t) - 2(k1 - 2t) + 2(1 + 2t) + 5 = 0 \] \[ -2 + t - 2k1 + 4t + 2 + 4t + 5 = 0 \] \[ 9t - 2k1 + 5 = 0 \] \[ 9t = 2k1 - 5 \] \[ t = \frac{2k1 - 5}{9} \] Tọa độ của điểm H là: \[ x_H = -2 + \frac{2k1 - 5}{9} \] \[ y_H = k1 - 2 \cdot \frac{2k1 - 5}{9} \] \[ z_H = 1 + 2 \cdot \frac{2k1 - 5}{9} \] Để tọa độ của H là (-1, 2, 3), ta thay vào: \[ -2 + \frac{2k1 - 5}{9} = -1 \] \[ k1 - 2 \cdot \frac{2k1 - 5}{9} = 2 \] \[ 1 + 2 \cdot \frac{2k1 - 5}{9} = 3 \] Giải các phương trình này để tìm k1: \[ -2 + \frac{2k1 - 5}{9} = -1 \] \[ \frac{2k1 - 5}{9} = 1 \] \[ 2k1 - 5 = 9 \] \[ 2k1 = 14 \] \[ k1 = 7 \] Thay k1 = 7 vào các phương trình còn lại để kiểm tra: \[ 7 - 2 \cdot \frac{2 \cdot 7 - 5}{9} = 2 \] \[ 7 - 2 \cdot \frac{14 - 5}{9} = 2 \] \[ 7 - 2 \cdot \frac{9}{9} = 2 \] \[ 7 - 2 = 2 \] \[ 5 = 2 \] (sai) Vậy mệnh đề này sai. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 2. a) Đúng vì $x=2$ làm mẫu số bằng 0. b) Sai vì $f'(x)=\frac{x^2-4x+5}{(x-2)^2}$. Ta thấy $x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ nên $f'(x)>0$ với mọi $x\neq 2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;2)$ và $(2;+\infty)$ c) Đúng vì $\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x^2+3x-1}{x-2}-x)=3$ nên tiệm cận xiên của (C) có PT là $y=x+3.$ d) Đúng vì $f'(x)>0$ với mọi $x\neq 2$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;2)$ do đó GTLN của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;0]$ bằng $f(0)=-\frac{1}{2}$. Câu 1. Để tính sin của góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 1 - 3t \\ z = -3 + t \end{array} \right. \] Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \vec{u} = (2, -3, 1) \] 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\): Mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình: \[ (\alpha): 3x + y - 2z - 3 = 0 \] Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[ \vec{n} = (3, 1, -2) \] 3. Tính cos của góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Gọi \(\theta\) là góc giữa vectơ \(\vec{u}\) và vectơ \(\vec{n}\). Ta có: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{n}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 6 - 3 - 2 = 1 \] Tính độ dài của vectơ \(\vec{u}\): \[ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \] Tính độ dài của vectơ \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \] Vậy: \[ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{14} \] 4. Tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi \(\phi\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha)\). Ta có: \[ \sin \phi = \cos \left(90^\circ - \theta\right) = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \] Thay giá trị của \(\cos \theta\): \[ \sin \phi = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{14}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{196}} = \sqrt{\frac{195}{196}} = \frac{\sqrt{195}}{14} \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ \sin \phi \approx \frac{\sqrt{195}}{14} \approx 0.99 \] Vậy, sin của góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[ \boxed{0.99} \] Câu 2. Để tính độ dài đường cáp AB, ta cần xác định tọa độ của điểm B và sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm B - Điểm A có tọa độ $(0, 18, 5)$. - Vectơ chỉ phương của đường cáp là $\overrightarrow{u} = (1, -2, 3)$. - Tung độ của điểm B là $y_2 = 600$. Ta biết rằng cabin chuyển động đều theo đường cáp, do đó tọa độ của điểm B sẽ có dạng: \[ B = (x_2, y_2, z_2) \] Từ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1, -2, 3)$, ta có: \[ \frac{x_2 - 0}{1} = \frac{y_2 - 18}{-2} = \frac{z_2 - 5}{3} = k \] Trong đó, $k$ là tham số thực. Ta biết $y_2 = 600$, nên: \[ \frac{600 - 18}{-2} = k \] \[ \frac{582}{-2} = k \] \[ k = -291 \] Bây giờ, ta tính $x_2$ và $z_2$: \[ x_2 = 0 + 1 \cdot (-291) = -291 \] \[ z_2 = 5 + 3 \cdot (-291) = 5 - 873 = -868 \] Do đó, tọa độ của điểm B là: \[ B(-291, 600, -868) \] Bước 2: Tính độ dài đường cáp AB Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của điểm A và B vào: \[ AB = \sqrt{(-291 - 0)^2 + (600 - 18)^2 + (-868 - 5)^2} \] \[ AB = \sqrt{(-291)^2 + (582)^2 + (-873)^2} \] \[ AB = \sqrt{84681 + 338724 + 762129} \] \[ AB = \sqrt{1185534} \] \[ AB \approx 1088.82 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ AB \approx 1089 \] Vậy độ dài đường cáp AB là 1089 đơn vị. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các phép biến đổi tương ứng. Bước 1: Xác định tích phân ban đầu \[ \int^5_2 [2x - f(x)] \, dx = 17 \] Bước 2: Tách tích phân thành hai phần \[ \int^5_2 2x \, dx - \int^5_2 f(x) \, dx = 17 \] Bước 3: Tính tích phân của \(2x\) từ 2 đến 5 \[ \int^5_2 2x \, dx = 2 \int^5_2 x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^5_2 = 2 \left( \frac{5^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{25}{2} - \frac{4}{2} \right) = 2 \left( \frac{21}{2} \right) = 21 \] Bước 4: Thay kết quả vào phương trình ban đầu \[ 21 - \int^5_2 f(x) \, dx = 17 \] Bước 5: Giải phương trình để tìm \(\int^5_2 f(x) \, dx\) \[ \int^5_2 f(x) \, dx = 21 - 17 = 4 \] Bước 6: Áp dụng tính chất của tích phân để tìm \(\int^3_2 f(x) \, dx\) \[ \int^5_2 f(x) \, dx = \int^3_2 f(x) \, dx + \int^5_3 f(x) \, dx \] \[ 4 = \int^3_2 f(x) \, dx + \int^5_3 f(x) \, dx \] Bước 7: Giả sử \(\int^5_3 f(x) \, dx = A\), vậy: \[ 4 = \int^3_2 f(x) \, dx + A \] Bước 8: Để tìm \(\int^3_2 f(x) \, dx\), chúng ta cần biết giá trị của \(A\). Tuy nhiên, trong bài toán này, chúng ta chưa có thông tin về \(A\). Do đó, chúng ta giả sử rằng \(A\) là một hằng số và không ảnh hưởng đến việc tìm \(\int^3_2 f(x) \, dx\). Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \int^3_2 f(x) \, dx = 4 - A \] Tuy nhiên, nếu không có thêm thông tin về \(A\), chúng ta không thể xác định chính xác giá trị của \(\int^3_2 f(x) \, dx\). Câu 4. Để tìm tâm \( I(a; b; c) \) của mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 6y + 2z - 3 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm của mặt cầu: Mặt cầu có dạng tổng quát là \( x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 \). Tâm của mặt cầu này là \( \left( -\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2} \right) \). So sánh với phương trình của mặt cầu \((S)\): \[ D = 4, \quad E = -6, \quad F = 2 \] Vậy tâm của mặt cầu là: \[ I \left( -\frac{4}{2}, -\frac{-6}{2}, -\frac{2}{2} \right) = I(-2, 3, -1) \] Do đó, \( a = -2 \), \( b = 3 \), và \( c = -1 \). 2. Tính \( a + b - 2c \): \[ a + b - 2c = -2 + 3 - 2(-1) = -2 + 3 + 2 = 3 \] Vậy giá trị của \( a + b - 2c \) là \( 3 \). Đáp số: \( 3 \) Câu 1. Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta_1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1$ có dạng tham số: $\frac{x-2}{-3} = \frac{y+3}{1} = \frac{z}{2}$. Do đó, vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (-3, 1, 2)$. - Đường thẳng $\Delta$ có dạng tham số: $\left\{ \begin{array}{l} x = -2 - t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right.$ Do đó, vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}_2 = (-1, 2, -2)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (-3) \times (-1) + 1 \times 2 + 2 \times (-2) = 3 + 2 - 4 = 1 \] 3. Tính độ dài của hai vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{14}} \] 5. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{3\sqrt{14}} \right) \] 6. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ \theta \approx 83.0^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta_1$ là khoảng $83.0^\circ$. Câu 2. Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M và N và vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha\)), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (\(\alpha\)): Mặt phẳng (\(\alpha\)): \(3x + y - 2z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}_{\alpha} = (3, 1, -2)\). 2. Tìm vectơ MN: Điểm M(2, 1, -3) và điểm N(0, -2, 1), ta có: \[ \overrightarrow{MN} = (0 - 2, -2 - 1, 1 - (-3)) = (-2, -3, 4) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (\(\alpha\)), do đó vectơ pháp tuyến của (P) sẽ vuông góc với \(\vec{n}_{\alpha}\). Mặt khác, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M và N, nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng phải vuông góc với \(\overrightarrow{MN}\). Ta tìm vectơ pháp tuyến của (P) bằng cách tính tích vector của \(\vec{n}_{\alpha}\) và \(\overrightarrow{MN}\): \[ \vec{n}_P = \vec{n}_{\alpha} \times \overrightarrow{MN} \] Tính tích vector: \[ \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ -2 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 4 - (-2) \cdot (-3)) - \vec{j}(3 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) + \vec{k}(3 \cdot (-3) - 1 \cdot (-2)) \] \[ = \vec{i}(4 - 6) - \vec{j}(12 - 4) + \vec{k}(-9 + 2) \] \[ = -2\vec{i} - 8\vec{j} - 7\vec{k} \] Vậy \(\vec{n}_P = (-2, -8, -7)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2, 1, -3) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P = (-2, -8, -7)\). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ -2(x - 2) - 8(y - 1) - 7(z + 3) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -2x + 4 - 8y + 8 - 7z - 21 = 0 \] \[ -2x - 8y - 7z - 9 = 0 \] Nhân cả phương trình với -1 để đơn giản hóa: \[ 2x + 8y + 7z + 9 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 2x + 8y + 7z + 9 = 0 \] Câu 3. Để viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm I của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của điểm A là (-2, 1, -3). - Tọa độ của điểm B là (4, 3, -1). Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ: \[ I = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{-3 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{-4}{2} \right) = (1, 2, -2) \] 2. Tính bán kính R của mặt cầu: - Bán kính R là khoảng cách từ trung điểm I đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách từ I đến A: \[ R = IA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 + (-2 - (-3))^2} \] \[ R = \sqrt{(1 + 2)^2 + (2 - 1)^2 + (-2 + 3)^2} \] \[ R = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: - Mặt cầu có tâm tại I(1, 2, -2) và bán kính R = $\sqrt{11}$. Phương trình mặt cầu là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = (\sqrt{11})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 11 \] Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 2)^2 = 11 \]