(cứu mình với mn ơii) Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) ba đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H Chứng minh AE . AB = AD . AC Chứng minh ∆HEB~∆HDC Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng vuông góc I...

Bài 11: Câu hỏi: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) ba đường cao AF, BD, CE cắt nhau tại H Chứng minh AE . AB = AD . AC Chứng minh ∆HEB~∆HDC Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng vuông góc IH tại H cắt các cạnh AB, AC tại M và N. Chứng minh ∆AHN~∆BIH và H là trung điểm MN. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: 1. Chứng minh AE . AB = AD . AC: Xét hai tam giác AEB và ADC: - ∠AEB = ∠ADC = 90° (vì BD và CE là đường cao) - ∠BAE = ∠CAD (góc chung) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆AEB ~ ∆ADC. Từ đó, ta có tỉ lệ: $$ Nhân cả hai vế với AD và AB, ta được: $$ 2. Chứng minh ∆HEB ~ ∆HDC: Xét hai tam giác HEB và HDC: - ∠HEB = ∠HDC = 90° (vì BD và CE là đường cao) - ∠EBH = ∠DCH (góc phụ của ∠ABC và ∠ACB) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆HEB ~ ∆HDC. 3. Chứng minh ∆AHN ~ ∆BIH và H là trung điểm MN: Gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng vuông góc với IH tại H cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Xét hai tam giác AHN và BIH: - ∠AHN = ∠BIH = 90° (vì đường thẳng vuông góc với IH) - ∠NAH = ∠IBH (góc phụ của ∠BAC và ∠ABC) Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆AHN ~ ∆BIH. Vì ∆AHN ~ ∆BIH, nên ta có tỉ lệ: $$ Vì I là trung điểm của BC, nên BI = IC. Do đó, ta có: $$ Vì ∆AHN ~ ∆BIH, nên ta có: $$ Vì ∆AHN ~ ∆BIH, nên ta có: $$ Vì I là trung điểm của BC, nên ta có: $$ Do đó, ta có: $$ Vì I là trung điểm của BC, nên ta có: $$ Do đó, ta có: $$ Vậy H là trung điểm của MN. Đáp số: - AE . AB = AD . AC - ∆HEB ~ ∆HDC - ∆AHN ~ ∆BIH và H là trung điểm MN.