Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=9cm, AC=12cm. a) Chứng minh: tam giác ABC ~ tam giác HBA và AB^2=BH.BC. b) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC (D thuộc AB). Tính BC, AD. c) Từ B...

Minh Bảo

a)

Tam giác vuông tại A có đường cao AH, ta có:

• ∠ABC=90∘, AH ⊥ BC tại H.
• Xét tam giác △ABC và △HBA

Ta có:

• ∠BAC=∠BAH(chung).
• ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ∠ABC=90∘, ∠AHB=90∘\angle AHB = 90^\circ∠AHB=90∘

⟹ △ABC∼△HBA\triangle ABC \sim \triangle HBA△ABC∼△HBA (g.g)

Tính chất đường cao trong tam giác vuông:

AB2=BH⋅BC(hệ thức lượng trong tam giaˊc vuoˆng)AB^2 = BH \cdot BC \quad \text{(hệ thức lượng trong tam giác vuông)}AB2=BH⋅BC(hệ thức lượng trong tam giaˊc vuoˆng)b) Kẻ đường phân giác CDCDCD của tam giác ABCABCABC với D∈ABD \in ABD∈AB. Tính BCBCBC, ADADAD

Tính cạnh BC:

Tam giác vuông tại A, ta dùng định lý Pythagoras:

BC2=AB2+AC2=92+122=81+144=225⇒BC=225=15 cmBC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow BC = \sqrt{225} = 15 \, cmBC2=AB2+AC2=92+122=81+144=225⇒BC=225

​=15cmTính AD: (áp dụng định lý phân giác)

Áp dụng định lý phân giác trong tam giác ABCABCABC với D là giao điểm phân giác trong:

BDDA=BCAC=1512=54⇒AB−ADAD=54\frac{BD}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{AB - AD}{AD} = \frac{5}{4}DABD​=ACBC​=1215​=45​⇒ADAB−AD​=45​Gọi AD=x⇒AB=9=x+54x=9x4AD = x \Rightarrow AB = 9 = x + \frac{5}{4}x = \frac{9x}{4}AD=x⇒AB=9=x+45​x=49x​

⇒9x4=9⇒x=4⇒AD=4 cm\Rightarrow \frac{9x}{4} = 9 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow AD = 4 \, cm⇒49x​=9⇒x=4⇒AD=4cmc) Từ B kẻ đường thẳng vuông CD tại E, cắt AH tại F. Trên đoạn CD lấy G sao cho BG=ABBG = ABBG=AB. Chứng minh: BG⊥FGBG \perp FGBG⊥FG

Ta sẽ chứng minh bằng cách dùng tính chất hình học và dựng đường vuông góc:

• Do AB=9 cmAB = 9 \, cmAB=9cm, nên ta dựng BG=9 cmBG = 9 \, cmBG=9cm trên CD (có thể xem CD là một trục, BG cố định độ dài).
• Vì E∈CDE \in CDE∈CD, BE⊥CDBE \perp CDBE⊥CD, và F=BE∩AHF = BE \cap AHF=BE∩AH, nên F cố định.
• Để BG⊥FGBG \perp FGBG⊥FG: ta cần chứng minh tam giác BFGBFGBFG vuông tại G.

Do △BFG\triangle BFG△BFG có AB=BGAB = BGAB=BG, nếu chứng minh được tam giác cân tại B và ∠BFG=90∘\angle BFG = 90^\circ∠BFG=90∘, thì BG⊥FGBG \perp FGBG⊥FG.

→ Để chứng minh bài này hình học rõ ràng nhất là vẽ hình chính xác theo dữ kiện, sau đó áp dụng góc vuông giữa các đường.