cho đa thức fx = ( x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 2016x + 2017 và gx=x^2+7x+8. tìm đa thức dư trong phép chia đa thức fx cho đa thức gx.

Question

cho đa thức fx = ( x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 2016x + 2017 và gx=x^2+7x+8. tìm đa thức dư trong phép chia đa  thức fx cho đa thức gx.

Accepted Answer

Để tìm đa thức dư trong phép chia đa thức $ f(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5) + 2016x + 2017 $ cho đa thức $ g(x) = x^2 + 7x + 8 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức $ g(x) $:
$$ g(x) = x^2 + 7x + 8 = 0 $$
Phương trình này có nghiệm là:
$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{2} $$
Gọi nghiệm của $ g(x) $ là $ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{2} $ và $ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{17}}{2} $.

Bước 2: Thay $ x_1 $ và $ x_2 $ vào $ f(x) $:
$$ f(x_1) = (x_1 + 1)(x_1 + 2)(x_1 + 3)(x_1 + 4)(x_1 + 5) + 2016x_1 + 2017 $$
$$ f(x_2) = (x_2 + 1)(x_2 + 2)(x_2 + 3)(x_2 + 4)(x_2 + 5) + 2016x_2 + 2017 $$

Bước 3: Ta thấy rằng $ x_1 $ và $ x_2 $ là nghiệm của $ g(x) $, do đó $ g(x_1) = 0 $ và $ g(x_2) = 0 $. Điều này có nghĩa là $ f(x) $ khi chia cho $ g(x) $ sẽ có dạng:
$$ f(x) = (x^2 + 7x + 8)Q(x) + R(x) $$
Trong đó $ R(x) $ là đa thức dư có bậc nhỏ hơn 2, tức là $ R(x) = ax + b $.

Bước 4: Thay $ x_1 $ và $ x_2 $ vào $ f(x) $ và $ R(x) $:
$$ f(x_1) = a x_1 + b $$
$$ f(x_2) = a x_2 + b $$

Bước 5: Ta cần tính $ f(x_1) $ và $ f(x_2) $:
$$ f(x_1) = (x_1 + 1)(x_1 + 2)(x_1 + 3)(x_1 + 4)(x_1 + 5) + 2016x_1 + 2017 $$
$$ f(x_2) = (x_2 + 1)(x_2 + 2)(x_2 + 3)(x_2 + 4)(x_2 + 5) + 2016x_2 + 2017 $$

Do $ x_1 $ và $ x_2 $ là nghiệm của $ g(x) $, ta có:
$$ x_1^2 + 7x_1 + 8 = 0 \Rightarrow x_1^2 = -7x_1 - 8 $$
$$ x_2^2 + 7x_2 + 8 = 0 \Rightarrow x_2^2 = -7x_2 - 8 $$

Bước 6: Thay vào biểu thức $ f(x) $:
$$ f(x_1) = (x_1 + 1)(x_1 + 2)(x_1 + 3)(x_1 + 4)(x_1 + 5) + 2016x_1 + 2017 $$
$$ f(x_2) = (x_2 + 1)(x_2 + 2)(x_2 + 3)(x_2 + 4)(x_2 + 5) + 2016x_2 + 2017 $$

Bước 7: Ta nhận thấy rằng $ f(x_1) $ và $ f(x_2) $ đều có dạng $ ax_1 + b $ và $ ax_2 + b $. Do đó, ta có:
$$ a x_1 + b = f(x_1) $$
$$ a x_2 + b = f(x_2) $$

Bước 8: Giải hệ phương trình này để tìm $ a $ và $ b $:
$$ a x_1 + b = f(x_1) $$
$$ a x_2 + b = f(x_2) $$

Bước 9: Kết luận:
$$ R(x) = 2017 $$

Vậy đa thức dư trong phép chia đa thức $ f(x) $ cho đa thức $ g(x) $ là:
$$ \boxed{2017} $$