P = $\underline{\overline{\underline{}}}\frac{\left(\sqrt[]{x}\right.+2)^2}{\left(\sqrt[]{x}+1\right)\left(\sqrt[]{x}-2\right)}$

ĐKXĐ: x= 0; x khác 4
Tìm GTLN và GTNN của P

Question

P = $\underline{\overline{\underline{}}}\frac{\left(\sqrt[]{x}\right.+2)^2}{\left(\sqrt[]{x}+1\right)\left(\sqrt[]{x}-2\right)}$

ĐKXĐ: x>= 0; x khác 4
Tìm GTLN và GTNN của P

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ P = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- $ x \geq 0 $ để căn bậc hai $ \sqrt{x} $ có nghĩa.
- $ x \neq 4 $ để mẫu số $ (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2) $ không bằng 0.

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Ta có:
$$ P = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)} $$

Rút gọn phân thức:
$$ P = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{\sqrt{x}^2 - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{x - 1} $$

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
Để tìm GTLN và GTNN của $ P $, ta xét các giá trị của $ x $ thỏa mãn ĐKXĐ.

Xét giới hạn của $ P $:
- Khi $ x \to 0 $:
  $$ P = \frac{(0 + 2)^2}{0 - 1} = \frac{4}{-1} = -4 $$
  
- Khi $ x \to 4 $:
  $$ P = \frac{(2 + 2)^2}{4 - 1} = \frac{16}{3} \approx 5.33 $$

- Khi $ x \to \infty $:
  $$ P = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{x - 1} \approx \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x - 1} \approx 1 $$

Kiểm tra các giá trị trung gian:
- Khi $ x = 1 $:
  $$ P = \frac{(1 + 2)^2}{1 - 1} $$ 
  (không xác định do mẫu số bằng 0)

- Khi $ x = 9 $:
  $$ P = \frac{(3 + 2)^2}{9 - 1} = \frac{25}{8} = 3.125 $$

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \frac{16}{3} $ khi $ x = 4 $.
- Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ -4 $ khi $ x = 0 $.

Do đó, giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \frac{16}{3} $ và giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ -4 $.

P = ĐKXĐ: x>= 0; x khác 4 Tìm GTLN và GTNN của P