tính hết các phần giúp em với ạ * Vai tạp ve nha.,Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. SAI đáy,$\widehat{BAC}=60^0,$ SB tạo với đáy góc 60°: $AC\cap BD=O$,Tính. $1)~d(S,(ABCD))$,$2)~d(A,(SCD))$,3) d( CD, (SBC)),$4)~d(O,SBC)$,$5)~d(C,(SAD))$,6) d( G, (SCD) với G là trọng tâm,$7)~d(N(SCD))$ ( với N là tđ' của SB. ),HONG HA

Question

Accepted Answer

Bài 1.
Để giải quyết các bài toán về khoảng cách trong hình chóp SABCD, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp và công thức liên quan đến hình học không gian. Dưới đây là các bước chi tiết để tính toán từng khoảng cách:

1. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

- Vì SB tạo với đáy góc 60°, ta có thể suy ra rằng khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là:
$$ d(S, (ABCD)) = SB \cdot \sin(60^\circ) $$

- Ta biết rằng SB tạo với đáy góc 60°, do đó:
$$ d(S, (ABCD)) = SB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

- Để tính SB, ta cần biết chiều cao của hình chóp từ S xuống đáy. Vì SB tạo với đáy góc 60°, ta có thể sử dụng tam giác vuông SOB (với O là trung điểm của AC):
$$ SB = \frac{SO}{\cos(60^\circ)} = \frac{SO}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot SO $$

- Vì SO là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD), ta có:
$$ SO = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} $$

- Do đó:
$$ SB = 2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} $$

- Vậy:
$$ d(S, (ABCD)) = a \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} $$

2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SCD và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{SABCD}}{S_{SCD}} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot SD \cdot \sin(\angle CSD) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} $$

- Vậy:
$$ d(A, (SCD)) = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}} = a $$

3. Tính khoảng cách từ CD đến mặt phẳng (SBC)

- Ta cần tìm khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (SBC). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SBC và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(CD, (SBC)) = \frac{2 \cdot V_{SABCD}}{S_{SBC}} $$

- Diện tích tam giác SBC:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC \cdot \sin(\angle SBC) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SBC:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4} $$

- Vậy:
$$ d(CD, (SBC)) = \frac{2 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} $$

4. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SBC và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(O, (SBC)) = \frac{3 \cdot V_{SABCD}}{S_{SBC}} $$

- Diện tích tam giác SBC:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC \cdot \sin(\angle SBC) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SBC:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4} $$

- Vậy:
$$ d(O, (SBC)) = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} $$

5. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)

- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SAD và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(C, (SAD)) = \frac{3 \cdot V_{SABCD}}{S_{SAD}} $$

- Diện tích tam giác SAD:
$$ S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD \cdot \sin(\angle SAD) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SAD:
$$ S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4} $$

- Vậy:
$$ d(C, (SAD)) = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{3} $$

6. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SCD) với G là trọng tâm

- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SCD và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(G, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{SABCD}}{S_{SCD}} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot SD \cdot \sin(\angle CSD) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} $$

- Vậy:
$$ d(G, (SCD)) = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}} = a $$

7. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SCD) với N là trung điểm của SB

- Ta cần tìm khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCD). Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa hoặc sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm khoảng cách này. Tuy nhiên, vì đây là một bài toán phức tạp, ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Ta cần tìm diện tích của tam giác SCD và thể tích của khối chóp SABCD. Sau đó, sử dụng công thức:
$$ d(N, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{SABCD}}{S_{SCD}} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot SC \cdot SD \cdot \sin(\angle CSD) $$

- Thể tích khối chóp SABCD:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h $$

- Với $ S_{ABCD} = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} $ và $ h = \frac{3a}{2} $:
$$ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{4} $$

- Diện tích tam giác SCD:
$$ S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} $$

- Vậy:
$$ d(N, (SCD)) = \frac{3 \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}} = a $$

Kết luận

1. $ d(S, (ABCD)) = \frac{3a}{2} $
2. $ d(A, (SCD)) = a $
3. $ d(CD, (SBC)) = \frac{a \sqrt{3}}{3} $
4. $ d(O, (SBC)) = \frac{a \sqrt{3}}{3} $
5. $ d(C, (SAD)) = \frac{a \sqrt{3}}{3} $
6. $ d(G, (SCD)) = a $
7. $ d(N, (SCD)) = a $