Xin cách giải nha II.TỰ LUẬN,Bài 1: Giải các phương trình, bất phương trình sau:,$a)~4^{2x-1}=8^{x+3}$ $b)~(\frac18)^{2x-1}=32^{x+3}$ $c)~(\frac23)^{3x-7}\leq\frac32$,$d)~\log_2(3x+1)=\log_2(2x-4)$ $e)~\log_3(2x-1)=3$ $f)~\log_4(2x^2+3x)\geq\frac12$,Bài 2:,1)Tính đạo hàm của các hàm số sau:,$a)~y=\frac{x^2-2x+2}{x+1}$ $b)~y=\frac{(x-2)(x+1)}{x+3}$ $c)~y=\frac{(x-3)^2}{x+1}$,$d)~y=2x^4-3x^3+x^2-3x+1$ $e)~y=x^6-4x^4+3x^2+12$,2) a)Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2~(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm,$M(-1;-2).$,b)Viết phương trình Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-3}$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$,$A.AB=a.BC=2a.SA$ vuông góc với mặt phẳng

Question

Accepted Answer

Bài 1: a) Ta có: $$ 4^{2x-1} = 8^{x+3} $$ $$ (2^2)^{2x-1} = (2^3)^{x+3} $$ $$ 2^{4x-2} = 2^{3x+9} $$ Bằng cơ số, ta có: $$ 4x - 2 = 3x + 9 $$ $$ x = 11 $$ Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 11 $. b) Ta có: $$ \left(\frac{1}{8}\right)^{2x-1} = 32^{x+3} $$ $$ (2^{-3})^{2x-1} = (2^5)^{x+3} $$ $$ 2^{-6x+3} = 2^{5x+15} $$ Bằng cơ số, ta có: $$ -6x + 3 = 5x + 15 $$ $$ -11x = 12 $$ $$ x = -\frac{12}{11} $$ Vậy nghiệm của phương trình là $ x = -\frac{12}{11} $. c) Ta có: $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} \leq \frac{3}{2} $$ $$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3x-7} \leq \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} $$ Vì $ \frac{2}{3} < 1 $, nên: $$ 3x - 7 \geq -1 $$ $$ 3x \geq 6 $$ $$ x \geq 2 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ x \geq 2 $. d) Ta có: $$ \log_2(3x+1) = \log_2(2x-4) $$ Bằng cơ số, ta có: $$ 3x + 1 = 2x - 4 $$ $$ x = -5 $$ Điều kiện: $ 3x + 1 > 0 $ và $ 2x - 4 > 0 $ $$ x > -\frac{1}{3} $$ và $ x > 2 $ Vì $ x = -5 $ không thỏa mãn điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. e) Ta có: $$ \log_3(2x-1) = 3 $$ $$ 2x - 1 = 3^3 $$ $$ 2x - 1 = 27 $$ $$ 2x = 28 $$ $$ x = 14 $$ Điều kiện: $ 2x - 1 > 0 $ $$ x > \frac{1}{2} $$ Vì $ x = 14 $ thỏa mãn điều kiện, nên nghiệm của phương trình là $ x = 14 $. f) Ta có: $$ \log_4(2x^2 + 3x) \geq \frac{1}{2} $$ $$ \log_4(2x^2 + 3x) \geq \log_4(2) $$ Vì $ 4 > 1 $, nên: $$ 2x^2 + 3x \geq 2 $$ Điều kiện: $ 2x^2 + 3x > 0 $ $$ x(2x + 3) > 0 $$ $$ x < -\frac{3}{2} \text{ hoặc } x > 0 $$ Giải bất phương trình $ 2x^2 + 3x - 2 \geq 0 $: $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} $$ $$ x = \frac{1}{2} \text{ hoặc } x = -2 $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ x \leq -2 \text{ hoặc } x \geq \frac{1}{2} $. Kết hợp điều kiện, ta có: $$ x \leq -2 \text{ hoặc } x \geq \frac{1}{2} $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $ x \leq -2 \text{ hoặc } x \geq \frac{1}{2} $. Bài 2: 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) $ y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x + 1} $ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{(x^2 - 2x + 2)'(x + 1) - (x^2 - 2x + 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 2x - 4}{(x + 1)^2} $$ b) $ y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 3} $ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{[(x - 2)(x + 1)]'(x + 3) - (x - 2)(x + 1)(x + 3)'}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{[(x^2 - x - 2)'](x + 3) - (x - 2)(x + 1)(1)}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{(2x - 1)(x + 3) - (x - 2)(x + 1)}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 6x - x - 3 - (x^2 - x - 2)}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 + 5x - 3 - x^2 + x + 2}{(x + 3)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 6x - 1}{(x + 3)^2} $$ c) $ y = \frac{(x - 3)^2}{x + 1} $ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ y' = \frac{[(x - 3)^2]'(x + 1) - (x - 3)^2(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{[2(x - 3)](x + 1) - (x - 3)^2(1)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2(x - 3)(x + 1) - (x - 3)^2}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2(x^2 - 2x - 3) - (x^2 - 6x + 9)}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 6x - 9}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{x^2 + 2x - 15}{(x + 1)^2} $$ d) $ y = 2x^4 - 3x^3 + x^2 - 3x + 1 $ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa: $$ y' = 8x^3 - 9x^2 + 2x - 3 $$ e) $ y = x^6 - 4x^4 + 3x^2 + 12 $ Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và lũy thừa: $$ y' = 6x^5 - 16x^3 + 6x $$ 2) a) Cho hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 2 $ (C). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm $ M(-1; -2) $. Phương trình tiếp tuyến của hàm số $ y = f(x) $ tại điểm $ (x_0, y_0) $ là: $$ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) $$ Đạo hàm của hàm số: $$ y' = 3x^2 - 6x $$ Gọi tiếp tuyến đi qua điểm $ M(-1; -2) $ và điểm $ (x_0, y_0) $ trên đồ thị hàm số. Ta có: $$ y_0 = x_0^3 - 3x_0^2 + 2 $$ $$ -2 - y_0 = (3x_0^2 - 6x_0)(-1 - x_0) $$ Thay $ y_0 $ vào phương trình: $$ -2 - (x_0^3 - 3x_0^2 + 2) = (3x_0^2 - 6x_0)(-1 - x_0) $$ $$ -x_0^3 + 3x_0^2 - 4 = -3x_0^2 - 3x_0^3 + 6x_0 + 6x_0^2 $$ $$ -x_0^3 + 3x_0^2 - 4 = -3x_0^3 + 3x_0^2 + 6x_0 $$ $$ 2x_0^3 - 6x_0 - 4 = 0 $$ $$ x_0^3 - 3x_0 - 2 = 0 $$ Giải phương trình này ta tìm được $ x_0 = -1 $ hoặc $ x_0 = 2 $. - Nếu $ x_0 = -1 $: $$ y_0 = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 $$ Phương trình tiếp tuyến: $$ y + 2 = (3(-1)^2 - 6(-1))(x + 1) $$ $$ y + 2 = (3 + 6)(x + 1) $$ $$ y + 2 = 9(x + 1) $$ $$ y = 9x + 7 $$ - Nếu $ x_0 = 2 $: $$ y_0 = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 $$ Phương trình tiếp tuyến: $$ y + 2 = (3(2)^2 - 6(2))(x - 2) $$ $$ y + 2 = (12 - 12)(x - 2) $$ $$ y + 2 = 0 $$ $$ y = -2 $$ b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y = \frac{x + 1}{2x - 3} $ tại điểm có hoành độ $ x_0 = -1 $. Đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{(x + 1)'(2x - 3) - (x + 1)(2x - 3)'}{(2x - 3)^2} $$ $$ y' = \frac{(1)(2x - 3) - (x + 1)(2)}{(2x - 3)^2} $$ $$ y' = \frac{2x - 3 - 2x - 2}{(2x - 3)^2} $$ $$ y' = \frac{-5}{(2x - 3)^2} $$ Tại $ x_0 = -1 $: $$ y'(-1) = \frac{-5}{(2(-1) - 3)^2} = \frac{-5}{(-5)^2} = \frac{-5}{25} = -\frac{1}{5} $$ Tìm $ y_0 $ tại $ x_0 = -1 $: $$ y_0 = \frac{-1 + 1}{2(-1) - 3} = \frac{0}{-5} = 0 $$ Phương trình tiếp tuyến: $$ y - 0 = -\frac{1}{5}(x + 1) $$ $$ y = -\frac{1}{5}x - \frac{1}{5} $$ Đáp số: 1) a) $ y' = \frac{x^2 + 2x - 4}{(x + 1)^2} $ b) $ y' = \frac{x^2 + 6x - 1}{(x + 3)^2} $ c) $ y' = \frac{x^2 + 2x - 15}{(x + 1)^2} $ d) $ y' = 8x^3 - 9x^2 + 2x - 3 $ e) $ y' = 6x^5 - 16x^3 + 6x $ 2) a) Phương trình tiếp tuyến: $ y = 9x + 7 $ hoặc $ y = -2 $ b) Phương trình tiếp tuyến: $ y = -\frac{1}{5}x - \frac{1}{5} $