Giúp với ạ Câu 19,Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm,$H(2;1;2),$ H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O,xuống mặt phẳng (P). Tính số đo góc giữ mặt PP) à,mặt phẳng $(Q):~x+y-11=0.$,Nhập đáp án,Đáp án của bạn,Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định dạng là,A/B. VD: 12/3,Câu 20,Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $A(1;-2;0),$,$B(2;0;3),~C(-2;1;3)$ và $D(0;1;1).$ Tính,$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\overrightarrow{AD}.$,Nhập đáp án,Đáp án của bạn

Question

Giúp với ạ Câu 19,Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm,$H(2;1;2),$ H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O,xuống mặt phẳng (P). Tính số đo góc  giữ  mặt PP) à,mặt phẳng $(Q):~x+y-11=0.$,Nhập đáp án,Đáp án của bạn,Nếu đáp án có kết quả là phân số vui lòng nhập theo định dạng là,A/B. VD: 12/3,Câu 20,Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm $A(1;-2;0),$,$B(2;0;3),~C(-2;1;3)$ và $D(0;1;1).$ Tính,$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\overrightarrow{AD}.$,Nhập đáp án,Đáp án của bạn

Accepted Answer

Câu 19
Để tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q):
   Mặt phẳng (Q) có phương trình: $x + y - 11 = 0$
   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\vec{n}_Q = (1, 1, 0)$.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Điểm $H(2, 1, 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng (P). Do đó, vectơ $\overrightarrow{OH}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   $$
   \overrightarrow{OH} = (2 - 0, 1 - 0, 2 - 0) = (2, 1, 2)
   $$
   Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (2, 1, 2)$.

3. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
   Gọi $\theta$ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có:
   $$
   \cos \theta = \left| \frac{\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q}{|\vec{n}_P| |\vec{n}_Q|} \right|
   $$
   Tính tích vô hướng $\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q$:
   $$
   \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 2 + 1 + 0 = 3
   $$
   Tính độ dài của các vectơ:
   $$
   |\vec{n}_P| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   |\vec{n}_Q| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos \theta = \left| \frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{3}{3\sqrt{2}} \right| = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$

4. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}
   $$
   Góc $\theta$ có giá trị là:
   $$
   \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 45^\circ
   $$

Vậy số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là $45^\circ$.

Đáp án: $45^\circ$.

Câu 20
Để tính $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\overrightarrow{AD}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$:
   - $\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, 0+2, 3-0) = (1, 2, 3)$
   - $\overrightarrow{AC} = C - A = (-2-1, 1+2, 3-0) = (-3, 3, 3)$
   - $\overrightarrow{AD} = D - A = (0-1, 1+2, 1-0) = (-1, 3, 1)$

2. Tính tích vector $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
   - Ta có:
     $$
     [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     1 & 2 & 3 \
     -3 & 3 & 3
     \end{vmatrix}
     $$
   - Tính theo công thức:
     $$
     [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = \mathbf{i}(2 \cdot 3 - 3 \cdot 3) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - 3 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(1 \cdot 3 - 2 \cdot (-3))
     $$
     $$
     = \mathbf{i}(6 - 9) - \mathbf{j}(3 + 9) + \mathbf{k}(3 + 6)
     $$
     $$
     = -3\mathbf{i} - 12\mathbf{j} + 9\mathbf{k}
     $$
   - Vậy:
     $$
     [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] = (-3, -12, 9)
     $$

3. Tính tích vô hướng của $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ và $\overrightarrow{AD}$:
   - Ta có:
     $$
     [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] \cdot \overrightarrow{AD} = (-3, -12, 9) \cdot (-1, 3, 1)
     $$
   - Tính theo công thức:
     $$
     = (-3) \cdot (-1) + (-12) \cdot 3 + 9 \cdot 1
     $$
     $$
     = 3 - 36 + 9
     $$
     $$
     = -24
     $$

Vậy đáp án là $-24$.