Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình:3^x-y³=1

Question

Accepted Answer

Để tìm tất cả các số nguyên dương $ x $ và $ y $ thỏa mãn phương trình $ 3^x - y^3 = 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xét trường hợp $ x = 1 $:
   $$
   3^1 - y^3 = 1 \implies 3 - y^3 = 1 \implies y^3 = 2
   $$
   Vì $ y $ là số nguyên dương, nên $ y^3 = 2 $ không có nghiệm nguyên dương. Do đó, $ x = 1 $ không thỏa mãn.

2. Xét trường hợp $ x = 2 $:
   $$
   3^2 - y^3 = 1 \implies 9 - y^3 = 1 \implies y^3 = 8 \implies y = 2
   $$
   Vậy $ (x, y) = (2, 2) $ là một nghiệm.

3. Xét trường hợp $ x \geq 3 $:
   Ta có:
   $$
   3^x - y^3 = 1 \implies 3^x = y^3 + 1
   $$
   Ta thấy rằng $ 3^x $ là số chia hết cho 3, do đó $ y^3 + 1 $ cũng phải chia hết cho 3. Điều này có nghĩa là $ y^3 \equiv 2 \pmod{3} $. Tuy nhiên, $ y^3 $ chỉ có thể đồng dư 0 hoặc 1 modulo 3 (vì $ y \equiv 0, 1, 2 \pmod{3} $ và $ 0^3 \equiv 0 \pmod{3} $, $ 1^3 \equiv 1 \pmod{3} $, $ 2^3 \equiv 8 \equiv 2 \pmod{3} $). Do đó, $ y^3 \equiv 2 \pmod{3} $ không thể xảy ra.

Do đó, không có nghiệm nào khác ngoài $ (x, y) = (2, 2) $.

Kết luận: Các số nguyên dương $ x $ và $ y $ thỏa mãn phương trình $ 3^x - y^3 = 1 $ là $ (x, y) = (2, 2) $.