Giải chi tiết và đúng giúp em

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của $\int 7e^x dx$, chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm số mũ. Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $e^x$. Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x + C$. Bước 2: Nhân hệ số 7 vào nguyên hàm của $e^x$. $\int 7e^x dx = 7 \int e^x dx = 7(e^x + C) = 7e^x + C$. Vậy nguyên hàm của $\int 7e^x dx$ là $7e^x + C$. Đáp án đúng là: $B.~7e^x+C.$ Câu 2. Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), ta cần tính diện tích giữa đồ thị của hàm số \( f(x) \) và trục hoành từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). Diện tích này được tính bằng tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( f(x) \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \). Điều này là vì diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số \( f(x) \) có thể nhận giá trị âm hoặc dương trong khoảng đó. Do đó, diện tích S sẽ được tính theo công thức: \[ S = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{-1}^{1} |f(x)| \, dx \] Câu 3. Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tìm trung bình cộng Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \). - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \). Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [1; 4,5): Giá trị trung tâm \( x_1 = \frac{1 + 4,5}{2} = 2,75 \) - Nhóm [4,5; 8): Giá trị trung tâm \( x_2 = \frac{4,5 + 8}{2} = 6,25 \) - Nhóm [8; 11,5): Giá trị trung tâm \( x_3 = \frac{8 + 11,5}{2} = 9,75 \) - Nhóm [11,5; 15): Giá trị trung tâm \( x_4 = \frac{11,5 + 15}{2} = 13,25 \) - Nhóm [15; 18,5): Giá trị trung tâm \( x_5 = \frac{15 + 18,5}{2} = 16,75 \) - Nhóm [18,5; 22): Giá trị trung tâm \( x_6 = \frac{18,5 + 22}{2} = 20,25 \) Bây giờ, ta tính tổng số người dự thi: \[ n = 4 + 20 + 3 + 9 + 10 + 3 = 50 \] Tiếp theo, ta tính tổng \( \sum_{i=1}^{6} f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{6} f_i x_i = 4 \times 2,75 + 20 \times 6,25 + 3 \times 9,75 + 9 \times 13,25 + 10 \times 16,75 + 3 \times 20,25 \] \[ = 11 + 125 + 29,25 + 119,25 + 167,5 + 60,75 \] \[ = 512,75 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{512,75}{50} = 10,255 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( S^2 \) được tính theo công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) cho mỗi nhóm: - Nhóm [1; 4,5): \( (2,75 - 10,255)^2 = (-7,505)^2 = 56,325025 \) - Nhóm [4,5; 8): \( (6,25 - 10,255)^2 = (-4,005)^2 = 16,040025 \) - Nhóm [8; 11,5): \( (9,75 - 10,255)^2 = (-0,505)^2 = 0,255025 \) - Nhóm [11,5; 15): \( (13,25 - 10,255)^2 = 2,995^2 = 8,970025 \) - Nhóm [15; 18,5): \( (16,75 - 10,255)^2 = 6,495^2 = 42,185025 \) - Nhóm [18,5; 22): \( (20,25 - 10,255)^2 = 9,995^2 = 99,900025 \) Tiếp theo, ta tính tổng \( \sum_{i=1}^{6} f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{6} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 4 \times 56,325025 + 20 \times 16,040025 + 3 \times 0,255025 + 9 \times 8,970025 + 10 \times 42,185025 + 3 \times 99,900025 \] \[ = 225,3 + 320,8 + 0,765 + 80,73 + 421,85 + 299,7 \] \[ = 1349,145 \] Phương sai: \[ S^2 = \frac{1349,145}{50} = 26,9829 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( S \) được tính theo công thức: \[ S = \sqrt{S^2} \] \[ S = \sqrt{26,9829} \approx 5,20 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 5,20. Do đó, đáp án đúng là: D. 1,80 (sai) C. 5,22 (gần đúng) Đáp án gần đúng nhất là C. 5,22. Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $B(-7;5;-4)$ và nhận vectơ $\overrightarrow u=(4; 5; 1)$ làm véctơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \begin{cases} x = -7 + 4t \\ y = 5 + 5t \\ z = -4 + t \end{cases} \] Từ đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng tỉ lệ: \[ \frac{x + 7}{4} = \frac{y - 5}{5} = \frac{z + 4}{1} \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ B.~\frac{x+7}{4} = \frac{y-5}{5} = \frac{z+4}{1} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\frac{x+7}{4} = \frac{y-5}{5} = \frac{z+4}{1}} \] Câu 5. Để giải phương trình $6^{x+1} = \frac{1}{6}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{6}$ có thể viết thành $6^{-1}$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 6^{x+1} = 6^{-1} \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là 6, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ x + 1 = -1 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \( x \): \[ x + 1 = -1 \\ x = -1 - 1 \\ x = -2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 \). Đáp án đúng là: \( C.~x = -2 \). Câu 6. Để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-3}{2x+3}$, ta làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số $y=\frac{3x-3}{2x+3}$ có nghĩa là mẫu số khác 0: \[ 2x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{2} \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến giá trị làm mẫu số bằng 0: Ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $-\frac{3}{2}$ từ hai phía: \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} y = \lim_{x \to -\frac{3}{2}^+} \frac{3x-3}{2x+3} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -\frac{3}{2}^-} y = \lim_{x \to -\frac{3}{2}^-} \frac{3x-3}{2x+3} = -\infty \] 3. Kết luận đường tiệm cận đứng: Vì khi $x$ tiến đến $-\frac{3}{2}$ từ cả hai phía, giá trị của hàm số tiến đến vô cùng, nên đường thẳng $x = -\frac{3}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x = -\frac{3}{2}. \] Câu 7. Để giải bất phương trình $\log_5(x + 12) > 4$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_5(x + 12)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 12 > 0$. - Điều này dẫn đến $x > -12$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_5(x + 12) > 4$. - Đổi về dạng mũ: $x + 12 > 5^4$. - Tính $5^4 = 625$, nên ta có $x + 12 > 625$. - Giải phương trình này: $x > 625 - 12$. - Kết quả là $x > 613$. 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Điều kiện $x > -12$ đã được thỏa mãn trong quá trình giải bất phương trình. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = (613; +\infty)$. Đáp án đúng là: $B.~S=(613;+\infty).$ Câu 8. Phương trình của mặt phẳng (R) là $-2x + y + z + 9 = 0$. Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có dạng $(a, b, c)$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các hệ số của $x$, $y$, và $z$ tương ứng trong phương trình mặt phẳng. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $\overrightarrow{n} = (-2, 1, 1)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định vectơ nào trong các vectơ đã cho là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R): A. $\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1)$ B. $\overrightarrow{n_2} = (-2, -1, 1)$ C. $\overrightarrow{n_3} = (2, -1, -1)$ D. $\overrightarrow{n_4} = (1, 1, 9)$ So sánh với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-2, 1, 1)$, ta thấy rằng: - Vectơ $\overrightarrow{n_1} = (2, -1, 1)$ không giống $\overrightarrow{n}$ vì các thành phần không khớp. - Vectơ $\overrightarrow{n_2} = (-2, -1, 1)$ không giống $\overrightarrow{n}$ vì các thành phần không khớp. - Vectơ $\overrightarrow{n_3} = (2, -1, -1)$ không giống $\overrightarrow{n}$ vì các thành phần không khớp. - Vectơ $\overrightarrow{n_4} = (1, 1, 9)$ không giống $\overrightarrow{n}$ vì các thành phần không khớp. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n} = (-2, 1, 1)$ có thể được nhân với một hằng số để tạo ra vectơ pháp tuyến khác. Trong trường hợp này, nếu ta nhân $\overrightarrow{n}$ với $-1$, ta sẽ có: $\overrightarrow{n} \times (-1) = (2, -1, -1)$ Do đó, vectơ $\overrightarrow{n_3} = (2, -1, -1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R). Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{n_3} = (2, -1, -1)$. Câu 9. Để tìm số hạng đầu $u_1$ của cấp số cộng $(u_n)$, ta cần biết công sai $d$ của cấp số cộng này. Ta có: $u_{15} = u_{10} + 5d$ Thay $u_{10} = -28$ và $u_{15} = -48$ vào, ta có: $-48 = -28 + 5d$ Giải phương trình này để tìm $d$: $-48 + 28 = 5d$ $-20 = 5d$ $d = -4$ Bây giờ, ta biết công sai $d = -4$. Để tìm số hạng đầu $u_1$, ta sử dụng công thức của số hạng thứ $n$ trong cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n-1)d$ Áp dụng cho $u_{10}$: $u_{10} = u_1 + 9d$ Thay $u_{10} = -28$ và $d = -4$ vào, ta có: $-28 = u_1 + 9(-4)$ $-28 = u_1 - 36$ Giải phương trình này để tìm $u_1$: $u_1 = -28 + 36$ $u_1 = 8$ Vậy số hạng đầu $u_1$ là $8$. Đáp án đúng là: $D.~u_1=8.$ Câu 10. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Điều này có nghĩa là SB là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $(SKC) \perp (SCA)$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SKC) vuông góc với mặt phẳng (SCA) hay không. - Vì E là trung điểm của BC và K là trung điểm của BA, ta có SK là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh của tam giác SBA. - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy SK vuông góc với SC hoặc AC, nên ta không thể kết luận $(SKC) \perp (SCA)$. B. $(SBD) \perp (SBA)$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SBA) hay không. - Vì SB vuông góc với (ABCD), SB cũng vuông góc với BD (vì BD nằm trong (ABCD)). - Do đó, SB là đường thẳng vuông góc chung giữa (SBD) và (SBA), suy ra $(SBD) \perp (SBA)$. C. $(SBC) \perp (BCDA)$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (BCDA) hay không. - Vì SB vuông góc với (ABCD), SB cũng vuông góc với BC (vì BC nằm trong (ABCD)). - Do đó, SB là đường thẳng vuông góc chung giữa (SBC) và (BCDA), suy ra $(SBC) \perp (BCDA)$. D. $(SBC) \perp (SBD)$: - Ta cần kiểm tra xem có đường thẳng nào trong mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SBD) hay không. - Vì SB vuông góc với (ABCD), SB cũng vuông góc với BD (vì BD nằm trong (ABCD)). - Tuy nhiên, không có thông tin nào cho thấy BC vuông góc với BD, nên ta không thể kết luận $(SBC) \perp (SBD)$. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng khẳng định đúng là: C. $(SBC) \perp (BCDA)$ Đáp án: C. $(SBC) \perp (BCDA)$.