Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại $A~(AB

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 5. Cho tam giác ABC vuông tại $A~(AB<AC),$ vẽ đường cao AH.,a) Chứng minh: $\Delta HBA\backsim\Delta ABC.$,b) Chứng minh: $AH^2=HB.HC.$,c) Trên tia HC, lấy điểm D sao cho $HD=HA.$ Từ D vẽ đường thẳng song song AH,cắt AC tại E. Chứng minh $AE=AB.$,2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB<AC).$ Kẻ đường cao BE, AK và CF,cắt nhau tại H.,a) Chứng minh: $\Delta ABK\backsim\Delta CBF.$,b) Chứng minh: $AE.AC=AF.AB.$,c) Gọi N là giao điểm của AK và EF, D là giao điểm của đường thẳng BC và,đường thẳng EF và O, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh ON,vuông góc DI.

Accepted Answer

Câu 5.
Câu 1:
a) Ta có $\angle HBA = \angle ABC$ (cùng bằng góc B)
$\angle BAH = \angle CAB$ (góc phụ của góc HAB)
Do đó $\Delta HBA \backsim \Delta ABC$ (g.g)
b) Từ $\Delta HBA \backsim \Delta ABC$, ta có tỉ lệ cạnh:
$\frac{AH}{AB} = \frac{HB}{BC}$
Nhân cả hai vế với $AB.BC$, ta được:
$AH.BC = HB.AB$
Mặt khác, ta có $BC = BH + HC$, thay vào ta có:
$AH.(BH + HC) = HB.AB$
$AH.BH + AH.HC = HB.AB$
$AH.HC = HB.AB - AH.BH$
$AH.HC = HB(AH - BH)$
$AH.HC = HB.HC$
$AH^2 = HB.HC$
c) Ta có $HD = HA$ nên $\Delta HAD$ là tam giác cân tại H.
Từ D vẽ đường thẳng song song AH cắt AC tại E, ta có $\angle HDE = \angle HAE$ (góc đồng vị)
$\angle HED = \angle HAE$ (góc đồng vị)
Do đó $\Delta HDE$ là tam giác cân tại H.
Ta có $\angle HDE = \angle HAE$ (góc đồng vị)
$\angle HED = \angle HAE$ (góc đồng vị)
Do đó $\Delta HDE$ là tam giác cân tại H.
Vì $\Delta HDE$ là tam giác cân tại H nên $HD = HE$.
Mà $HD = HA$ nên $HE = HA$.
Do đó $\Delta HAE$ là tam giác cân tại H.
Ta có $\angle HAE = \angle HDE$ (góc đồng vị)
$\angle HAE = \angle HED$ (góc đồng vị)
Do đó $\Delta HAE$ là tam giác cân tại H.
Vì $\Delta HAE$ là tam giác cân tại H nên $AE = AB$.

Câu 2:
a) Ta có $\angle ABK = \angle CBF$ (cùng bằng góc B)
$\angle BAK = \angle BCF$ (góc phụ của góc KAB)
Do đó $\Delta ABK \backsim \Delta CBF$ (g.g)
b) Từ $\Delta ABK \backsim \Delta CBF$, ta có tỉ lệ cạnh:
$\frac{AK}{CF} = \frac{AB}{CB}$
Nhân cả hai vế với $CB.CF$, ta được:
$AK.CB = AB.CF$
Mặt khác, ta có $CB = CE + EB$, thay vào ta có:
$AK.(CE + EB) = AB.CF$
$AK.CE + AK.EB = AB.CF$
$AK.CE = AB.CF - AK.EB$
$AK.CE = EB(AB - AK)$
$AK.CE = EB.EC$
$AK.CE = AE.AC$
c) Ta có $\angle BAK = \angle BCF$ (góc phụ của góc KAB)
$\angle BAK = \angle BCF$ (góc phụ của góc KAB)
Do đó $\Delta BAK \backsim \Delta BCF$ (g.g)
Từ $\Delta BAK \backsim \Delta BCF$, ta có tỉ lệ cạnh:
$\frac{AK}{CF} = \frac{BK}{BF}$
Nhân cả hai vế với $BF.CF$, ta được:
$AK.BF = BK.CF$
Mặt khác, ta có $BF = BD + DF$, thay vào ta có:
$AK.(BD + DF) = BK.CF$
$AK.BD + AK.DF = BK.CF$
$AK.BD = BK.CF - AK.DF$
$AK.BD = DF(BK - AK)$
$AK.BD = DF.DF$
$AK.BD = DF^2$
Vì $O$ là trung điểm của $BC$ nên $BO = OC$.
Vì $I$ là trung điểm của $AH$ nên $AI = IH$.
Ta có $\angle BON = \angle DON$ (góc đối đỉnh)
$\angle BON = \angle DON$ (góc đối đỉnh)
Do đó $\Delta BON \backsim \Delta DON$ (g.g)
Từ $\Delta BON \backsim \Delta DON$, ta có tỉ lệ cạnh:
$\frac{ON}{OD} = \frac{OB}{OD}$
Nhân cả hai vế với $OD$, ta được:
$ON = OB$
Vì $O$ là trung điểm của $BC$ nên $OB = OC$.
Do đó $ON = OC$.
Vì $ON = OC$ nên $ON$ vuông góc với $DI$.