Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH (H \in BC)

a) Chứng minh Delta*HBA 5 triangle ABC

b) Đường phân giác của góc ABC cắt AH, AC lần lượt tại E và F.

Chứng minh: EA. FA =EH.FC

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A và có đường cao AH (H \in BC)

a) Chứng minh Delta*HBA 5 triangle ABC

b) Đường phân giác của góc ABC cắt AH, AC lần lượt tại E và F.

Chứng minh: EA. FA =EH.FC

Accepted Answer

a) Xét $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$, ta có:

- $\angle BAH = \angle CBA$ (cùng bằng góc BAC)
- $\angle BHA = \angle BAC$ (góc vuông)

Do đó, $\Delta HBA \sim \Delta ABC$ (góc - góc)

b) Ta cần chứng minh $EA \cdot FA = EH \cdot FC$.

- Vì $BF$ là đường phân giác của $\angle ABC$, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$$
  \frac{FA}{FC} = \frac{BA}{BC}
  $$

- Mặt khác, do $\Delta HBA \sim \Delta ABC$, nên ta có:

$$
  \frac{BA}{BC} = \frac{HA}{AB}
  $$

- Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có:

$$
  \frac{FA}{FC} = \frac{HA}{AB}
  $$

- Do đó, ta có:

$$
  FA \cdot AB = HA \cdot FC
  $$

- Ta cũng biết rằng $E$ nằm trên đường phân giác của $\angle ABC$, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$$
  \frac{EA}{EH} = \frac{BA}{BH}
  $$

- Mặt khác, do $\Delta HBA \sim \Delta ABC$, nên ta có:

$$
  \frac{BA}{BH} = \frac{AB}{HA}
  $$

- Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có:

$$
  \frac{EA}{EH} = \frac{AB}{HA}
  $$

- Do đó, ta có:

$$
  EA \cdot HA = EH \cdot AB
  $$

- Kết hợp các kết quả trên, ta có:

$$
  EA \cdot FA = EH \cdot FC
  $$

Vậy ta đã chứng minh được $EA \cdot FA = EH \cdot FC$.