cứu Giúp mình với! Bài 5. Tính giá trị của biểu thức:,$a)~H=\frac2{11.13}+\frac2{13.15}+\frac2{15.17}+...+\frac2{53.55}$,b),$P=\frac a{x^2+ax}+\frac a{x^2+3ax+2a^2}+\frac a{x^2+5ax+6a^2}+...+\frac a{x^2+19ax+90a^2}+\frac1{x+10a}$,$x=\frac1{2024}$,tại

Question

Accepted Answer

{"userId":5386872,"userName":"lamtraitimanhdau dưng"}

a) Ta có:

$H = \frac{2}{11.13} + \frac{2}{13.15} + \frac{2}{15.17} + ... + \frac{2}{53.55}$

Sử dụng công thức $\frac{k}{n(n+k)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}$. Với $k=2$, ta có $\frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}$.

Áp dụng vào biểu thức H:

$H = (\frac{1}{11} - \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} - \frac{1}{15}) + (\frac{1}{15} - \frac{1}{17}) + ... + (\frac{1}{53} - \frac{1}{55})$

Đây là tổng dạng chuỗi rút gọn (telescoping sum), các số hạng ở giữa tự triệt tiêu.

$H = \frac{1}{11} - \frac{1}{55}$

$H = \frac{5}{55} - \frac{1}{55}$

$H = \frac{4}{55}$

b) Ta có:

$P = \frac{a}{x^2 + ax} + \frac{a}{x^2 + 3ax + 2a^2} + \frac{a}{x^2 + 5ax + 6a^2} + ... + \frac{a}{x^2 + 19ax + 90a^2} + \frac{1}{x + 10a}$

Phân tích các mẫu số thành nhân tử:

$x^2 + ax = x(x+a)$

$x^2 + 3ax + 2a^2 = (x+a)(x+2a)$

$x^2 + 5ax + 6a^2 = (x+2a)(x+3a)$

...

$x^2 + 19ax + 90a^2 = (x+9a)(x+10a)$

Vậy biểu thức P được viết lại là:

$P = \frac{a}{x(x+a)} + \frac{a}{(x+a)(x+2a)} + \frac{a}{(x+2a)(x+3a)} + ... + \frac{a}{(x+9a)(x+10a)} + \frac{1}{x + 10a}$

Sử dụng công thức phân tích phân số: $\frac{a}{(x+ka)(x+(k+1)a)} = \frac{1}{x+ka} - \frac{1}{x+(k+1)a}$.

Áp dụng vào biểu thức P:

$P = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+a}) + (\frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+2a}) + (\frac{1}{x+2a} - \frac{1}{x+3a}) + ... + (\frac{1}{x+9a} - \frac{1}{x+10a}) + \frac{1}{x + 10a}$

Đây cũng là một tổng dạng chuỗi rút gọn. Các số hạng ở giữa và hai số hạng cuối cùng tự triệt tiêu.

$P = \frac{1}{x} + (-\frac{1}{x+a} + \frac{1}{x+a}) + (-\frac{1}{x+2a} + \frac{1}{x+2a}) + ... + (-\frac{1}{x+9a} + \frac{1}{x+9a}) + (-\frac{1}{x+10a} + \frac{1}{x+10a})$

$P = \frac{1}{x}$

Tại $x = \frac{1}{2024}$, giá trị của P là:

$P = \frac{1}{\frac{1}{2024}}$

$P = 2024$