Bài 1: Vẽ năm điểm M, N, P, Q, R trong đó: - Ba điểm M, N, P thẳng hàng; - Ba điểm P, Q, R không thẳng hàng. Bài 2: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó chỉ có ba điểm A, B, C thẳng hàng, ngoài ra không...

Bài 1: Để vẽ năm điểm M, N, P, Q, R theo yêu cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Vẽ ba điểm thẳng hàng M, N, P: - Đầu tiên, chúng ta vẽ một đường thẳng và chọn ba điểm trên đường thẳng đó. Gọi ba điểm này là M, N và P. Như vậy, ba điểm M, N, P thẳng hàng. 2. Vẽ hai điểm Q và R không thẳng hàng với ba điểm M, N, P: - Tiếp theo, chúng ta vẽ hai điểm Q và R sao cho chúng không nằm trên đường thẳng chứa ba điểm M, N, P. Điều này đảm bảo rằng ba điểm P, Q, R không thẳng hàng. Bây giờ, chúng ta đã hoàn thành việc vẽ năm điểm M, N, P, Q, R theo yêu cầu đề bài. Cụ thể: - Ba điểm M, N, P thẳng hàng. - Ba điểm P, Q, R không thẳng hàng. Để minh họa rõ hơn, chúng ta có thể vẽ sơ đồ như sau: M --- N --- P | Q | R Như vậy, chúng ta đã hoàn thành nhiệm vụ vẽ năm điểm M, N, P, Q, R theo yêu cầu đề bài. Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xác định các đường thẳng có thể vẽ được từ các điểm A, B, C, D, E. 1. Đường thẳng qua các điểm thẳng hàng: - Các điểm A, B, C thẳng hàng nên chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua cả ba điểm này. Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng ABC. 2. Đường thẳng qua các điểm không thẳng hàng: - Điểm D không thẳng hàng với các điểm A, B, C. Do đó, ta có thể vẽ các đường thẳng từ D đến từng điểm A, B, C. - Đường thẳng DA - Đường thẳng DB - Đường thẳng DC - Điểm E cũng không thẳng hàng với các điểm A, B, C. Do đó, ta có thể vẽ các đường thẳng từ E đến từng điểm A, B, C. - Đường thẳng EA - Đường thẳng EB - Đường thẳng EC - Ngoài ra, ta cũng có thể vẽ các đường thẳng giữa các điểm D và E với các điểm còn lại. - Đường thẳng DE Tổng hợp lại, ta có các đường thẳng sau: - Đường thẳng ABC - Đường thẳng DA - Đường thẳng DB - Đường thẳng DC - Đường thẳng EA - Đường thẳng EB - Đường thẳng EC - Đường thẳng DE Vậy, tổng số đường thẳng phân biệt là 8 đường thẳng. Đáp số: 8 đường thẳng: ABC, DA, DB, DC, EA, EB, EC, DE. Bài 3: a) Vẽ các tia OM, ON, MN. - Đầu tiên, vẽ điểm O, M, N không thẳng hàng. - Vẽ tia OM bắt đầu từ điểm O đi qua điểm M. - Vẽ tia ON bắt đầu từ điểm O đi qua điểm N. - Vẽ tia MN bắt đầu từ điểm M đi qua điểm N. b) Vẽ tia Ox cắt đường thẳng MN tại E, sao cho điểm E nằm giữa hai điểm M và N. - Vẽ tia Ox bắt đầu từ điểm O. - Tia Ox cắt đường thẳng MN tại điểm E, sao cho điểm E nằm giữa hai điểm M và N. c) Vẽ tia Oy cắt đường thẳng MN tại F, sao cho điểm M nằm giữa hai điểm F và N. - Vẽ tia Oy bắt đầu từ điểm O. - Tia Oy cắt đường thẳng MN tại điểm F, sao cho điểm M nằm giữa hai điểm F và N. Lập luận từng bước: - Ta đã vẽ ba điểm phân biệt O, M, N không thẳng hàng. - Vẽ các tia OM, ON, MN dựa trên các điểm đã cho. - Vẽ tia Ox cắt đường thẳng MN tại điểm E, sao cho điểm E nằm giữa hai điểm M và N. - Vẽ tia Oy cắt đường thẳng MN tại điểm F, sao cho điểm M nằm giữa hai điểm F và N. Bài 4: a) Chúng có tất cả 1 giao điểm: - Vẽ 4 đường thẳng sao cho chúng đều đi qua cùng một điểm. Như vậy, tất cả các đường thẳng sẽ có duy nhất 1 giao điểm chung. b) Chúng có tất cả 4 giao điểm: - Vẽ 2 đường thẳng cắt nhau tại một điểm. - Vẽ thêm 2 đường thẳng nữa, mỗi đường thẳng cắt mỗi đường thẳng đã vẽ trước đó tại 2 điểm khác nhau. Như vậy, chúng sẽ có tổng cộng 4 giao điểm. c) Chúng có tất cả 6 giao điểm: - Vẽ 4 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng cắt mỗi đường thẳng khác tại một điểm giao khác nhau. Như vậy, chúng sẽ có tổng cộng 6 giao điểm. Lập luận từng bước: - Trong trường hợp a), tất cả các đường thẳng đều đi qua cùng một điểm, do đó chúng chỉ có duy nhất 1 giao điểm. - Trong trường hợp b), mỗi đường thẳng cắt mỗi đường thẳng khác tại 2 điểm khác nhau, do đó chúng sẽ có tổng cộng 4 giao điểm. - Trong trường hợp c), mỗi đường thẳng cắt mỗi đường thẳng khác tại một điểm giao khác nhau, do đó chúng sẽ có tổng cộng 6 giao điểm. Bài 5: a) Các cặp tia đối nhau là: - Tia Ox và tia Ox' - Tia Oy và tia Oy' - Tia Oz và tia Oz' b) Vẽ các điểm A, B, C sao cho: - Điểm A thuộc tia Ox - Tia OA và OB đối nhau - Tia OA và OC trùng nhau Giải thích vì sao 4 điểm A, B, C, O thẳng hàng: - Vì tia OA và OB đối nhau nên chúng nằm trên cùng một đường thẳng và ngược chiều nhau. - Tia OA và OC trùng nhau nên điểm C nằm trên tia OA. - Do đó, các điểm A, B, C, O đều nằm trên cùng một đường thẳng, tức là chúng thẳng hàng. Nếu điểm A nằm giữa hai điểm C và O thì điểm A có nằm giữa hai điểm B và C không? Vì sao? - Vì điểm A nằm giữa hai điểm C và O, nghĩa là C, A, O thẳng hàng và A nằm giữa C và O. - Vì tia OA và OB đối nhau, nên B nằm trên đường thẳng qua O và ngược chiều với tia OA. - Do đó, điểm A cũng nằm giữa hai điểm B và C vì B, A, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C. Đáp số: a) Các cặp tia đối nhau: Ox và Ox', Oy và Oy', Oz và Oz'. b) Giải thích: 4 điểm A, B, C, O thẳng hàng vì tia OA và OB đối nhau, tia OA và OC trùng nhau. Nếu điểm A nằm giữa hai điểm C và O thì điểm A cũng nằm giữa hai điểm B và C vì B, A, C thẳng hàng và A nằm giữa B và C. Bài 6: a) Tính độ dài OK? Vì K nằm giữa O và N nên ta có: $$ Thay các giá trị đã biết vào: $$ Từ đó, ta tính được: $$ b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm I sao cho OI = 2 cm. Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng IK không? Vì sao? Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm I. Điểm I nằm trên tia đối của tia Ox và OI = 2 cm. Bây giờ, ta tính độ dài IK: $$ $$ Để O là trung điểm của đoạn thẳng IK, ta cần kiểm tra xem OK có bằng IO hay không: $$ $$ Vì OK = IO, nên O là trung điểm của đoạn thẳng IK. Đáp số: a) Độ dài OK là 2 cm. b) O là trung điểm của đoạn thẳng IK vì OK = IO = 2 cm. Bài 7: a) Để trồng 12 cây thành 6 hàng, mỗi hàng 4 cây, chúng ta có thể sắp xếp các cây theo hình sao. Mỗi cánh sao sẽ có 4 cây và các cánh sao sẽ chia đều nhau. Sơ đồ vị trí của 12 cây: b) Để trồng 9 cây thành 8 hàng, mỗi hàng 3 cây, chúng ta có thể sắp xếp các cây theo hình chữ thập. Mỗi cánh của chữ thập sẽ có 3 cây và các cánh sẽ chia đều nhau. Sơ đồ vị trí của 9 cây: Lập luận từng bước: - Đầu tiên, chúng ta cần sắp xếp các cây sao cho mỗi hàng có đúng 3 cây. - Chúng ta có thể sử dụng hình chữ thập để dễ dàng sắp xếp các cây. - Mỗi cánh của chữ thập sẽ có 3 cây và các cánh sẽ chia đều nhau. Vậy, sơ đồ vị trí của 9 cây là: Bài 8: a) Ta xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Đường thẳng đi qua hai trong 5 điểm thẳng hàng. Số đường thẳng là: $$ (đường thẳng) - Trường hợp 2: Đường thẳng đi qua hai trong 25 điểm còn lại. Số đường thẳng là: $$ (đường thẳng) - Trường hợp 3: Đường thẳng đi qua một trong 5 điểm thẳng hàng và một trong 25 điểm còn lại. Số đường thẳng là: $$ (đường thẳng) Tổng số đường thẳng là: $$ (đường thẳng) Số đoạn thẳng là: $$ (đoạn thẳng) b) Ta có: $$ $$ $$ $$ c) Ta có: $$ $$ $$ $$ d) Ta có: $$ (giao điểm) Bài 9: Để tính độ dài đoạn thẳng AA10, chúng ta sẽ lần lượt tìm độ dài các đoạn thẳng từ AA1 đến AA10. Bước 1: Tìm độ dài đoạn thẳng AA1 - A1 là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó độ dài đoạn thẳng AA1 là $$ cm. Bước 2: Tìm độ dài đoạn thẳng AA2 - A2 là trung điểm của đoạn thẳng AA1, do đó độ dài đoạn thẳng AA2 là $$ cm. Bước 3: Tìm độ dài đoạn thẳng AA3 - A3 là trung điểm của đoạn thẳng AA2, do đó độ dài đoạn thẳng AA3 là $$ cm. Bước 4: Tìm độ dài đoạn thẳng AA4 - A4 là trung điểm của đoạn thẳng AA3, do đó độ dài đoạn thẳng AA4 là $$ cm. Bước 5: Tìm độ dài đoạn thẳng AA5 - A5 là trung điểm của đoạn thẳng AA4, do đó độ dài đoạn thẳng AA5 là $$ cm. Bước 6: Tìm độ dài đoạn thẳng AA6 - A6 là trung điểm của đoạn thẳng AA5, do đó độ dài đoạn thẳng AA6 là $$ cm. Bước 7: Tìm độ dài đoạn thẳng AA7 - A7 là trung điểm của đoạn thẳng AA6, do đó độ dài đoạn thẳng AA7 là $$ cm. Bước 8: Tìm độ dài đoạn thẳng AA8 - A8 là trung điểm của đoạn thẳng AA7, do đó độ dài đoạn thẳng AA8 là $$ cm. Bước 9: Tìm độ dài đoạn thẳng AA9 - A9 là trung điểm của đoạn thẳng AA8, do đó độ dài đoạn thẳng AA9 là $$ cm. Bước 10: Tìm độ dài đoạn thẳng AA10 - A10 là trung điểm của đoạn thẳng AA9, do đó độ dài đoạn thẳng AA10 là $$ cm. Vậy độ dài đoạn thẳng AA10 là 1 cm.