câu 1 câu 2 Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16,$ hai điểm,$A(1;0;2),~B(-1;2;2).$ và mặt phẳng $(P):~ax+by+cz+3=0$,a) Mặt cầu (S) có đường kính bằng $8\leq14+2+33~\&=4.$,b) Điểm $M(3;0;-3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm của mặt cầu (S) và song song với AB,Đ c) Đường thẳng AB cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt,1) d) Nếu ()) đi quaA,BB và cắt (S) theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất tìì $a+b+c=-3$,Câu 2. Trong Oxyz cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}1=\frac{y-1}2=\frac{z-1}2,~d_2:\frac x{-1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}2$ và $P(0;-1;2)$,Đ a) Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ đồng phẳng,b) Nếu hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $I(a;b;c)$ thì $a+b+c=5$,S c) Khoảng cách từ điểm P tới đường thẳng $d_1$ bằng 2,d) Gọi $\overrightarrow u=(7;b;c)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm P cắt $d_1$ tại A cắt $d,$ tại,B sao cho $AI=AB.$ Khi đó $b+c=36$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R = 4$. Đường kính của mặt cầu là $2R = 8$.

b) Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(1;2;3)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm của mặt cầu $(S)$ và song song với $AB$. Vector chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (-2;2;0)$. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 - 2t \
y = 2 + 2t \
z = 3
\end{array}
\right.
$$
Điểm $M(3;0;-3)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ khi thay vào phương trình trên ta thấy không thỏa mãn, do đó điểm $M$ không thuộc đường thẳng $\Delta$.

c) Ta kiểm tra xem đường thẳng $AB$ có cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt hay không. Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 - 2t \
y = 2t \
z = 2
\end{array}
\right.
$$
Thay vào phương trình mặt cầu $(S)$:
$$ 
(1 - 2t - 1)^2 + (2t - 2)^2 + (2 - 3)^2 = 16 
$$
$$ 
( -2t )^2 + (2t - 2)^2 + (-1)^2 = 16 
$$
$$ 
4t^2 + 4t^2 - 8t + 4 + 1 = 16 
$$
$$ 
8t^2 - 8t + 5 = 16 
$$
$$ 
8t^2 - 8t - 11 = 0 
$$
Phương trình này có $\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-11) = 64 + 352 = 416 > 0$, nên có hai nghiệm thực phân biệt. Vậy đường thẳng $AB$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt.

d) Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và $B$ và cắt $(S)$ theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $ax + by + cz + 3 = 0$. Vì $(P)$ đi qua $A(1;0;2)$ và $B(-1;2;2)$, ta có:
$$ 
a + 2c + 3 = 0 
$$
$$ 
-a + 2b + 2c + 3 = 0 
$$
Từ đây suy ra $a + 2c = -3$ và $-a + 2b + 2c = -3$. Thay $a = -3 - 2c$ vào phương trình thứ hai:
$$ 
-(-3 - 2c) + 2b + 2c = -3 
$$
$$ 
3 + 2c + 2b + 2c = -3 
$$
$$ 
2b + 4c = -6 
$$
$$ 
b + 2c = -3 
$$
Do đó, $a + b + c = (-3 - 2c) + (-3 - 2c) + c = -6 - 3c$. Để diện tích thiết diện nhỏ nhất, khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ phải lớn nhất, tức là $a + b + c = -3$.

Đáp số:
a) 8
b) Không
c) Có
d) $a + b + c = -3$

Câu 2.
a) Ta thấy $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(1,2,2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1,-2,2)$. 
Ta có $\overrightarrow{u_1}\neq k\overrightarrow{u_2}$ nên $d_1$ và $d_2$ không song song hoặc trùng nhau. 
Ta xét vectơ $\overrightarrow{PQ}=(1,2,-2)$ với $Q(0,-1,3)$ thuộc $d_2$. 
Ta thấy $\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}$ nên $\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ đồng phẳng. 
Vậy $d_1$ và $d_2$ đồng phẳng.

b) Vì $d_1$ và $d_2$ đồng phẳng nên nếu chúng cắt nhau thì giao điểm của chúng sẽ nằm trên cả hai đường thẳng. 
Ta thấy $d_1$ có phương trình tham số là $x=1+t,y=1+2t,z=1+2t$. 
$d_2$ có phương trình tham số là $x=-s,y=-1-2s,z=3+2s$. 
Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ sẽ thỏa mãn cả hai phương trình tham số này. 
Từ đó ta có $1+t=-s,1+2t=-1-2s,1+2t=3+2s$. 
Giải hệ phương trình này ta được $t=0,s=-1$. 
Thay vào phương trình tham số của $d_1$ ta được giao điểm $I(1,1,1)$. 
Vậy $a+b+c=1+1+1=3$.

c) Ta thấy khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $d_1$ là khoảng cách từ điểm $P$ đến mặt phẳng chứa $d_1$ và vuông góc với $d_1$. 
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1,2,2)$. 
Phương trình của mặt phẳng này là $x+2y+2z+d=0$. 
Vì $d_1$ đi qua điểm $(1,1,1)$ nên ta có $1+2+2+d=0$, suy ra $d=-5$. 
Phương trình của mặt phẳng là $x+2y+2z-5=0$. 
Khoảng cách từ điểm $P(0,-1,2)$ đến mặt phẳng này là $\frac{|0+2(-1)+2(2)-5|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{3}{3}=1$. 
Vậy khoảng cách từ điểm $P$ đến đường thẳng $d_1$ là 1.

d) Ta thấy $\overrightarrow{u}=(7,b,c)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $P(0,-1,2)$ và cắt $d_1$ tại $A$ và $d_2$ tại $B$ sao cho $AI=AB$. 
Ta có $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{PB}=l\overrightarrow{u}$. 
Vì $AI=AB$ nên $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$. 
Từ đó ta có $k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{AI}=k\overrightarrow{u}+l\overrightarrow{u}$. 
Suy ra $\overrightarrow{AI}=l\overrightarrow{u}$. 
Vì $\overrightarrow{AI}$ là vectơ chỉ phương của $d_1$ nên $\overrightarrow{AI}=m\overrightarrow{u_1}$. 
Từ đó ta có $l\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{u_1}$. 
Vì $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u_1}$ là hai vectơ khác phương nên $l=m=0$. 
Vậy $\overrightarrow{u}=(7,b,c)$ là vectơ chỉ phương của $d_1$. 
Từ đó ta có $b=2$ và $c=2$. 
Vậy $b+c=2+2=4$.