Vfrv dưcjh

Câu 1: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho dung tích nước trong chậu bằng \(\frac{1}{2}\) thể tích của chậu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của chậu: Chậu có hình dạng là một hình nón cụt với chiều cao \( H = 16 \) cm, bán kính đáy \( R_1 = 10 + \sqrt{16} = 14 \) cm và bán kính đỉnh \( R_2 = 10 + \sqrt{0} = 10 \) cm. Thể tích \( V \) của hình nón cụt được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi H (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2) \] Thay các giá trị vào: \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \left( 14^2 + 14 \cdot 10 + 10^2 \right) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \left( 196 + 140 + 100 \right) \] \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 436 \] \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6976 \] \[ V = \frac{6976}{3} \pi \approx 7341.33 \text{ cm}^3 \] 2. Tính thể tích nước trong chậu khi cắt ở độ cao \( x \) cm: Khi cắt chậu ở độ cao \( x \) cm, phần còn lại của chậu là một hình nón cụt mới với chiều cao \( h = 16 - x \) cm, bán kính đáy \( R_1' = 10 + \sqrt{x} \) cm và bán kính đỉnh \( R_2' = 10 \) cm. Thể tích \( V' \) của phần nước trong chậu được tính theo công thức: \[ V' = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1'^2 + R_1' R_2' + R_2'^2 \right) \] Thay các giá trị vào: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (16 - x) \left( (10 + \sqrt{x})^2 + (10 + \sqrt{x}) \cdot 10 + 10^2 \right) \] \[ V' = \frac{1}{3} \pi (16 - x) \left( 100 + 20\sqrt{x} + x + 100 + 10\sqrt{x} + 100 \right) \] \[ V' = \frac{1}{3} \pi (16 - x) \left( 300 + 30\sqrt{x} + x \right) \] 3. Đặt điều kiện để thể tích nước bằng \(\frac{1}{2}\) thể tích của chậu: \[ V' = \frac{1}{2} V \] \[ \frac{1}{3} \pi (16 - x) \left( 300 + 30\sqrt{x} + x \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{6976}{3} \pi \] \[ (16 - x) \left( 300 + 30\sqrt{x} + x \right) = \frac{6976}{2} \] \[ (16 - x) \left( 300 + 30\sqrt{x} + x \right) = 3488 \] 4. Giải phương trình: Ta có phương trình: \[ (16 - x) \left( 300 + 30\sqrt{x} + x \right) = 3488 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), thì \( x = t^2 \): \[ (16 - t^2) \left( 300 + 30t + t^2 \right) = 3488 \] Giải phương trình này bằng phương pháp thử nghiệm hoặc sử dụng máy tính, ta tìm được \( t \approx 2.83 \). 5. Tìm giá trị của \( x \): \[ x = t^2 \approx 2.83^2 \approx 8.01 \] Vậy giá trị của \( x \) để dung tích nước trong chậu bằng \(\frac{1}{2}\) thể tích của chậu là \( x \approx 8.01 \) cm. Câu 2: Trước tiên, ta xác định tâm O của đáy ABCD và hạ đường cao SO từ đỉnh S xuống đáy. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với đáy ABCD. Ta tính khoảng cách từ S đến AC: - Diện tích tam giác SAC là $\frac{1}{2} \times SA \times AC \times \sin(\angle SAC)$. - Diện tích tam giác SAC cũng là $\frac{1}{2} \times SO \times AC$. Do đó, ta có: \[ \frac{1}{2} \times 2a \times a\sqrt{2} \times \sin(\angle SAC) = \frac{1}{2} \times SO \times a\sqrt{2} \] \[ 2a^2 \times \sin(\angle SAC) = SO \times a\sqrt{2} \] \[ SO = 2a \times \sin(\angle SAC) \] Ta biết rằng $\angle SAC = 45^\circ$, do đó $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: \[ SO = 2a \times \frac{\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \] Tiếp theo, ta tính khoảng cách từ D đến SC: - Diện tích tam giác SDC là $\frac{1}{2} \times SD \times DC \times \sin(\angle SDC)$. - Diện tích tam giác SDC cũng là $\frac{1}{2} \times DO \times SC$. Do đó, ta có: \[ \frac{1}{2} \times 2a \times a\sqrt{2} \times \sin(\angle SDC) = \frac{1}{2} \times DO \times 2a \] \[ 2a^2 \times \sin(\angle SDC) = DO \times 2a \] \[ DO = a \times \sin(\angle SDC) \] Ta biết rằng $\angle SDC = 45^\circ$, do đó $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: \[ DO = a \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Bây giờ, ta tính khoảng cách từ O đến SC: - Diện tích tam giác SOC là $\frac{1}{2} \times SO \times OC \times \sin(\angle SOC)$. - Diện tích tam giác SOC cũng là $\frac{1}{2} \times OH \times SC$. Do đó, ta có: \[ \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} \times \sin(\angle SOC) = \frac{1}{2} \times OH \times 2a \] \[ 2a^2 \times \sin(\angle SOC) = OH \times 2a \] \[ OH = a \times \sin(\angle SOC) \] Ta biết rằng $\angle SOC = 45^\circ$, do đó $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: \[ OH = a \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Cuối cùng, ta tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (SAC): \[ \cos(\theta) = \frac{OH}{DO} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 1 \] Do đó, ta có: \[ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{1}{2}} \] Vậy $b = 1$ và $c = 2$, do đó $T = b + 2c = 1 + 2 \times 2 = 5$. Đáp số: $T = 5$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). 2. Xác định tọa độ của điểm \(N\) trên đường thẳng \(d'\) sao cho khoảng cách từ điểm \(N\) đến giao điểm của \(d\) và \(d'\) là 6 cm. 3. Tính giá trị biểu thức \(2a - b + 3c\). Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). Phương trình của đường thẳng \(d\) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2 \\ z = 4 \end{array} \right. \] Phương trình của đường thẳng \(d'\) là: \[ d': \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Để tìm giao điểm, ta cần \(x\), \(y\), và \(z\) của cả hai đường thẳng phải bằng nhau tại cùng một điểm. Từ phương trình của \(d\), ta thấy \(y = 2\) và \(z = 4\). Thay vào phương trình của \(d'\): \[ 1 = t \] \[ 2 = 2 \] \[ 4 = 1 + 3t \] Từ \(1 = t\), ta có \(t = 1\). Thay \(t = 1\) vào phương trình của \(d'\): \[ z = 1 + 3(1) = 4 \] Vậy giao điểm của \(d\) và \(d'\) là \((1, 2, 4)\). Bước 2: Xác định tọa độ của điểm \(N\) trên đường thẳng \(d'\) sao cho khoảng cách từ điểm \(N\) đến giao điểm của \(d\) và \(d'\) là 6 cm. Giao điểm của \(d\) và \(d'\) là \((1, 2, 4)\). Điểm \(N\) trên đường thẳng \(d'\) có tọa độ \((1, 2, 1 + 3t)\). Ta cần khoảng cách giữa điểm \(N\) và giao điểm là 6 cm: \[ \sqrt{(1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + ((1 + 3t) - 4)^2} = 6 \] \[ \sqrt{(3t - 3)^2} = 6 \] \[ |3t - 3| = 6 \] \[ 3t - 3 = 6 \quad \text{hoặc} \quad 3t - 3 = -6 \] \[ 3t = 9 \quad \text{hoặc} \quad 3t = -3 \] \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Vì \(c < 0\), ta chọn \(t = -1\). Thay \(t = -1\) vào phương trình của \(d'\): \[ N(1, 2, 1 + 3(-1)) = N(1, 2, -2) \] Bước 3: Tính giá trị biểu thức \(2a - b + 3c\). Tọa độ của điểm \(N\) là \((1, 2, -2)\). Vậy \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = -2\). \[ 2a - b + 3c = 2(1) - 2 + 3(-2) = 2 - 2 - 6 = -6 \] Đáp số: \(-6\). Câu 4: Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ tìm các số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 7 và luôn chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4. Bước 1: Điều kiện chia hết cho 20 Một số chia hết cho 20 nếu tận cùng là 0 hoặc 20, 40, 60, 80. Vì vậy, chữ số cuối cùng của số cần tìm phải là 0 hoặc 20, 40, 60, 80. Tuy nhiên, trong tập các chữ số đã cho, chỉ có 0 là chữ số tận cùng có thể thỏa mãn điều kiện này. Bước 2: Chữ số 4 phải xuất hiện Chữ số 4 phải xuất hiện trong số cần tìm. Bước 3: Xác định các trường hợp Ta sẽ xét các trường hợp khi chữ số cuối cùng là 0 và chữ số 4 xuất hiện ở vị trí nào đó trong số còn lại. Trường hợp 1: Chữ số cuối cùng là 0 - Chữ số thứ tư là 0. - Chữ số thứ ba có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0 và 4 (vì 4 phải xuất hiện ở một vị trí khác). - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0, 4 và chữ số đã chọn cho vị trí thứ ba. - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0, 4 và hai chữ số đã chọn cho vị trí thứ ba và thứ hai. Cụ thể: - Chữ số thứ ba có thể là 2, 3, 5, 7 (4 lựa chọn). - Chữ số thứ hai có thể là 3 lựa chọn còn lại. - Chữ số đầu tiên có thể là 2 lựa chọn còn lại. Số lượng các số có thể tạo ra trong trường hợp này là: \[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \] Trường hợp 2: Chữ số thứ ba là 4 - Chữ số thứ tư là 0. - Chữ số thứ ba là 4. - Chữ số thứ hai có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0 và 4 (vì 4 đã xuất hiện ở vị trí thứ ba). - Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào trừ 0, 4 và chữ số đã chọn cho vị trí thứ hai. Cụ thể: - Chữ số thứ hai có thể là 2, 3, 5, 7 (4 lựa chọn). - Chữ số đầu tiên có thể là 3 lựa chọn còn lại. Số lượng các số có thể tạo ra trong trường hợp này là: \[ 4 \times 3 = 12 \] Tổng kết Tổng số các số có thể tạo ra là: \[ 24 + 12 = 36 \] Vậy, tổng cộng có 36 số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 7, luôn chia hết cho 20 và luôn xuất hiện chữ số 4. Câu 5: Để tìm số sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận thu được là lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng chi phí: - Chi phí vận hành máy móc: \( G(x) = \frac{200000x}{3x + 2} \) - Chi phí nguyên vật liệu ban đầu: \( H(x) = 2x^3 + 100000x - 50000 \) Doanh nghiệp được giảm giá cho nguyên vật liệu: - Giảm 2% cho 180 sản phẩm đầu tiên: \( 0.02 \times 180 = 3.6 \% \) - Giảm 3% cho các sản phẩm tiếp theo: \( 0.03 \times (x - 180) \) Chi phí nguyên vật liệu sau khi giảm: \[ H'(x) = 2x^3 + 100000x - 50000 - 0.02 \times 180 \times (2x^3 + 100000x - 50000) - 0.03 \times (x - 180) \times (2x^3 + 100000x - 50000) \] 2. Tính lợi nhuận: Lợi nhuận \( P(x) \) là doanh thu trừ đi tổng chi phí: \[ P(x) = F(x) - [G(x) + H'(x)] \] Thay các giá trị vào: \[ P(x) = (x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000) - \left( \frac{200000x}{3x + 2} + H'(x) \right) \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận: Để tìm giá trị lớn nhất của \( P(x) \), ta tính đạo hàm \( P'(x) \) và giải phương trình \( P'(x) = 0 \). Tính đạo hàm của \( P(x) \): \[ P'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^3 - 1999x^2 + 1001000x + 250000 - \left( \frac{200000x}{3x + 2} + H'(x) \right) \right] \] Giải phương trình \( P'(x) = 0 \) để tìm giá trị \( x \) tối ưu. 4. Kiểm tra điều kiện: Kiểm tra các giá trị \( x \) tìm được trong khoảng \( 1 \leq x \leq 500 \) và chọn giá trị \( x \) sao cho \( P(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ tìm được số sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 6: Để tính xác suất An thắng trong trận đấu, ta cần tính xác suất Bình thắng ít hơn 4 ván trong 7 ván đấu. Xác suất Bình thắng một ván là 0,4, do đó xác suất Bình thua một ván là 0,6. Ta sẽ tính xác suất Bình thắng 0, 1, 2, hoặc 3 ván trong 7 ván đấu. 1. Xác suất Bình thắng 0 ván: \[ P(X = 0) = \binom{7}{0} (0,4)^0 (0,6)^7 = 1 \cdot 1 \cdot (0,6)^7 = 0,0279936 \] 2. Xác suất Bình thắng 1 ván: \[ P(X = 1) = \binom{7}{1} (0,4)^1 (0,6)^6 = 7 \cdot 0,4 \cdot (0,6)^6 = 7 \cdot 0,4 \cdot 0,046656 = 0,1306368 \] 3. Xác suất Bình thắng 2 ván: \[ P(X = 2) = \binom{7}{2} (0,4)^2 (0,6)^5 = 21 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^5 = 21 \cdot 0,16 \cdot 0,07776 = 0,2612736 \] 4. Xác suất Bình thắng 3 ván: \[ P(X = 3) = \binom{7}{3} (0,4)^3 (0,6)^4 = 35 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^4 = 35 \cdot 0,064 \cdot 0,1296 = 0,290304 \] Bây giờ, ta cộng tất cả các xác suất trên lại: \[ P(\text{Bình thắng ít hơn 4 ván}) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \] \[ = 0,0279936 + 0,1306368 + 0,2612736 + 0,290304 = 0,709208 \] Vậy xác suất An thắng trong trận đấu là: \[ P(\text{An thắng}) = 1 - P(\text{Bình thắng ít hơn 4 ván}) = 1 - 0,709208 = 0,290792 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ P(\text{An thắng}) \approx 0,29 \] Đáp số: 0,29