Cứu trợ em với an Câu 3: Trong một hộp phấn màu có 12 viên phấn gồm 6 viên màu đỏ, 5 viên màu xanh và 1 viên màu vàng. Các viên,phấn có cùng kích thước và khối lượng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên phấn ra khỏi hộp không trả lại, sau đó bạn,Bình lấy ngẫu nghiên đồng thời 5 viên phấn ra khỏi hộp.,a) Xác suất để An lấy được viên phấn màu xanh là $\frac5{12}.$,b) Xác suất để An lấy được viên phấn mâu đỏ hoặc màu vàng là $\frac12.$,c) Biết An lấy được viên phấn màu xanh. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn màu đó là $\frac1{17}.$,d) Biết An lấy được viên phấn màu đỏ. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn cùng màu là $\frac1{231}.$,Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm $B(1;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):~x-2y-2z+5=0.$,a) Điểm B nằm trên mặt phẳng (P).,b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q):~6x+2y+z-1=0.$,c) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng $(P):~x-2y-2z+5=0$ bằng $\frac53$,d) Mặt cầu đường kính OB có phương trình: $x^2+x^2+x^2-x+2z=0.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt cầu $(S):~x^2+y^2+x^2+4x-2y+6x+10=0.$ Tìm bán kính mặt cầu?,Câu 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $x=3$ 3 sn x , trục hoành. $x=0,~x=\pi.$ Tính thể tích khối tròn xoay,tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,Câu 3: Cho $f(sf(s)-4x]ds=12.$ Tính $\int^{2025f(x)dx}_{2025f(x)dx}$,Câu 4: Trong hệ trục Oxyz cho trước (đơn vị trên trục là mét), một trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ,sóng của trạm ở ngưỡng 12 km được đặt ở vị trí $A(5;1;0).$ Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m để một người,dùng điện thoại ở vị trí $A(m+3;5;0)$ có thể sử dụng dịch vụ của trạm nói trên.

Question

Accepted Answer

Câu 3:
a) Xác suất để An lấy được viên phấn màu xanh là $\frac{5}{12}$ vì có 5 viên phấn màu xanh trong tổng số 12 viên phấn.

b) Xác suất để An lấy được viên phấn màu đỏ hoặc màu vàng là $\frac{6 + 1}{12} = \frac{7}{12}$. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, ta cần kiểm tra lại:
- Số viên phấn màu đỏ là 6.
- Số viên phấn màu vàng là 1.
- Tổng số viên phấn là 12.

Do đó, xác suất để An lấy được viên phấn màu đỏ hoặc màu vàng là $\frac{6 + 1}{12} = \frac{7}{12}$. Nhưng theo đề bài, xác suất này phải là $\frac{1}{2}$. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc yêu cầu.

c) Biết An lấy được viên phấn màu xanh. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn màu đó là $\frac{1}{17}$.

Sau khi An lấy đi 1 viên phấn màu xanh, còn lại 11 viên phấn trong đó có 4 viên phấn màu xanh. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn màu xanh từ 11 viên phấn còn lại là:
$$
P = \frac{\binom{4}{5}}{\binom{11}{5}} = \frac{0}{462} = 0
$$
Nhưng theo đề bài, xác suất này phải là $\frac{1}{17}$. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc yêu cầu.

d) Biết An lấy được viên phấn màu đỏ. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn cùng màu là $\frac{1}{231}$.

Sau khi An lấy đi 1 viên phấn màu đỏ, còn lại 11 viên phấn trong đó có 5 viên phấn màu đỏ. Xác suất để Bình lấy được 5 viên phấn màu đỏ từ 11 viên phấn còn lại là:
$$
P = \frac{\binom{5}{5}}{\binom{11}{5}} = \frac{1}{462}
$$
Nhưng theo đề bài, xác suất này phải là $\frac{1}{231}$. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc yêu cầu.

Tóm lại, các xác suất đã cho trong đề bài có thể không chính xác hoặc có lỗi trong đề bài.

Câu 4:
a) Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P):
$$ 1 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 \neq 0 $$
Do đó, điểm B không nằm trên mặt phẳng (P).

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, -2, -2)$.
Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (6, 2, 1)$.
Hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0:
$$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 6 + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 6 - 4 - 2 = 0 $$
Do đó, mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

c) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức:
$$ d(O, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$
Ở đây, $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$ và phương trình mặt phẳng (P) là $x - 2y - 2z + 5 = 0$. Do đó:
$$ d(O, (P)) = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{5}{3} $$
Do đó, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) là $\frac{5}{3}$.

d) Mặt cầu đường kính OB có tâm là trung điểm của đoạn thẳng OB và bán kính là nửa độ dài đoạn thẳng OB.
Tọa độ trung điểm của OB là:
$$ M = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{-2+0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 0, -1 \right) $$
Bán kính của mặt cầu là:
$$ R = \frac{OB}{2} = \frac{\sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (-2-0)^2}}{2} = \frac{\sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} $$
Phương trình mặt cầu là:
$$ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{2} \right)^2 $$
$$ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = \frac{5}{4} $$
$$ x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 + z^2 + 2z + 1 = \frac{5}{4} $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z + \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z + \frac{5}{4} = \frac{5}{4} $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z = 0 $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z = 0 $$

Đáp án đúng là:
a) Điểm B không nằm trên mặt phẳng (P).
b) Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).
c) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) là $\frac{5}{3}$.
d) Phương trình mặt cầu là $x^2 + y^2 + z^2 - x + 2z = 0$.

Câu 1:
Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+10=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương.
$$
x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y + 6z + 10 = 0
$$

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho các biến $x$, $y$, và $z$.

- Với $x$:
$$
x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4
$$

- Với $y$:
$$
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
$$

- Với $z$:
$$
z^2 + 6z = (z + 3)^2 - 9
$$

Bước 3: Thay vào phương trình ban đầu:
$$
(x + 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 3)^2 - 9 + 10 = 0
$$

Bước 4: Gom các hằng số lại:
$$
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 - 4 - 1 - 9 + 10 = 0
$$
$$
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 - 4 = 0
$$
$$
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 4
$$

Bước 5: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta thấy:
$$
R^2 = 4 \implies R = 2
$$

Vậy bán kính của mặt cầu là $2$.

Câu 2:
Để tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $ x = 0 $, $ x = \pi $, trục hoành và $ y = \sin(x) $ quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số và khoảng quay:
   - Hàm số: $ y = \sin(x) $
   - Khoảng: $ 0 \leq x \leq \pi $

2. Công thức tính thể tích khối tròn xoay:
   - Thể tích $ V $ của khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ quanh trục hoành được tính bằng công thức:
     $$
     V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
     $$

3. Áp dụng công thức vào bài toán:
   - Ở đây, $ f(x) = \sin(x) $, $ a = 0 $, và $ b = \pi $. Do đó, thể tích $ V $ là:
     $$
     V = \pi \int_{0}^{\pi} [\sin(x)]^2 \, dx
     $$

4. Tính tích phân:
   - Ta cần tính tích phân $ \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx $. Sử dụng công thức hạ bậc:
     $$
     \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
     $$
   - Do đó:
     $$
     \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx
     $$
   - Tách tích phân:
     $$
     \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx
     $$
   - Tính từng phần:
     $$
     \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi - 0) = \frac{\pi}{2}
     $$
     $$
     \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - 0 \right) = 0
     $$
   - Kết hợp lại:
     $$
     \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}
     $$

5. Tính thể tích khối tròn xoay:
   - Thay kết quả tích phân vào công thức thể tích:
     $$
     V = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}
     $$

6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
   - $\frac{\pi^2}{2} \approx \frac{(3.14)^2}{2} \approx \frac{9.86}{2} \approx 4.93$
   - Làm tròn đến hàng đơn vị: $ V \approx 5 $

Vậy thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành là $ 5 $ đơn vị thể tích.

Câu 3:
Câu hỏi:
Cho $f(sf(s)-4x]ds=12.$ Tính $\int^{2025}_{2025}f(x)dx$.
Vui lòng lập luận từng bước.

Câu trả lời:
Để tính $\int^{2025}_{2025} f(x) dx$, chúng ta cần lưu ý rằng tích phân của một hàm từ một điểm đến chính điểm đó luôn bằng 0. Điều này là do tích phân đại diện cho diện tích dưới đồ thị của hàm số giữa hai giới hạn, và nếu hai giới hạn trùng nhau thì diện tích đó sẽ bằng 0.

Do đó, ta có:
$$
\int^{2025}_{2025} f(x) dx = 0
$$

Đáp số: 0

Lời giải trên đã áp dụng kiến thức cơ bản về tính chất của tích phân, cụ thể là tích phân từ một điểm đến chính điểm đó luôn bằng 0.

Câu 4:
Để xác định giá trị nguyên lớn nhất của $ m $ sao cho người dùng điện thoại ở vị trí $ A(m+3;5;0) $ có thể sử dụng dịch vụ của trạm 5G, ta cần tính khoảng cách từ điểm $ A(m+3;5;0) $ đến trạm $ A(5;1;0) $ và đảm bảo rằng khoảng cách này không vượt quá bán kính vùng phủ sóng của trạm (12 km).

Bước 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm $ A(m+3;5;0) $ và $ A(5;1;0) $.

Khoảng cách giữa hai điểm $ A(x_1, y_1, z_1) $ và $ B(x_2, y_2, z_2) $ trong không gian được tính bằng công thức:
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \sqrt{(5 - (m+3))^2 + (1 - 5)^2 + (0 - 0)^2} $$
$$ d = \sqrt{(5 - m - 3)^2 + (-4)^2} $$
$$ d = \sqrt{(2 - m)^2 + 16} $$

Bước 2: Đảm bảo khoảng cách này không vượt quá bán kính vùng phủ sóng của trạm (12 km):
$$ \sqrt{(2 - m)^2 + 16} \leq 12 $$

Bước 3: Giải bất phương trình:
$$ (2 - m)^2 + 16 \leq 144 $$
$$ (2 - m)^2 \leq 128 $$
$$ |2 - m| \leq \sqrt{128} $$
$$ |2 - m| \leq 8\sqrt{2} $$

Bước 4: Xác định giá trị nguyên lớn nhất của $ m $:
$$ -8\sqrt{2} \leq 2 - m \leq 8\sqrt{2} $$
$$ 2 - 8\sqrt{2} \leq m \leq 2 + 8\sqrt{2} $$

Biết rằng $ 8\sqrt{2} \approx 11.31 $, ta có:
$$ 2 - 11.31 \leq m \leq 2 + 11.31 $$
$$ -9.31 \leq m \leq 13.31 $$

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất của $ m $ là 13.

Đáp số: $ m = 13 $