Gtyc hc ucyfjcu $a)~f^\prime(x)=1+2\cos2x$,b) Khi $f^\prime(x)=0\Leftrightarrow\cos2x=-\frac12$,c) Trên đoạn $[\alpha; au]$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có tổng các nghiệm bằng x.,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0,\pi]$ l $\frac{\sqrt3}2+\frac{5\pi}6$,Câu 13.8. Cho hàm số $f(x)=e^x-x$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $(0;+\infty)$,b) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f^\prime(x)=x^\prime-1$,c) Giá trí lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên tập xác định là 1.,d) Phương trình $e^\prime-i- heta=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-6;4)$,Câu 13.9. Cho hàm số $f(x)=4\sin x+2x+1$,Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Question

Gtyc hc ucyfjcu $a)~f^\prime(x)=1+2\cos2x$,b) Khi $f^\prime(x)=0\Leftrightarrow\cos2x=-\frac12$,c) Trên đoạn $[\alpha;	au]$ phương trình $f^\prime(x)=0$ có tổng các nghiệm bằng x.,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0,\pi]$ l $\frac{\sqrt3}2+\frac{5\pi}6$,Câu 13.8. Cho hàm số $f(x)=e^x-x$ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:,a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $(0;+\infty)$,b) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f^\prime(x)=x^\prime-1$,c) Giá trí lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên tập xác định là 1.,d) Phương trình $e^\prime-i-	heta=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-6;4)$,Câu 13.9. Cho hàm số $f(x)=4\sin x+2x+1$,Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Accepted Answer

Câu 13.8. a) Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $(0;+\infty)$ Lời giải: Hàm số $f(x) = e^x - x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ vì hàm số mũ $e^x$ và hàm số $x$ đều xác định trên toàn bộ tập số thực. Do đó, mệnh đề này là sai. b) Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là $f^\prime(x) = x^\prime - 1$ Lời giải: Đạo hàm của hàm số $f(x) = e^x - x$ là $f^\prime(x) = e^x - 1$. Mệnh đề này là sai vì đạo hàm của $e^x$ là $e^x$, không phải $x^\prime$. c) Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên tập xác định là 1. Lời giải: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = e^x - x$, ta xét đạo hàm $f^\prime(x) = e^x - 1$. Ta có: - $f^\prime(x) = 0 \Rightarrow e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ - $f^\prime(x) > 0$ khi $x > 0$ - $f^\prime(x) < 0$ khi $x < 0$ Do đó, hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$ và giá trị cực tiểu là $f(0) = e^0 - 0 = 1$. Vì hàm số $f(x)$ là hàm số liên tục và không bị chặn trên, nên giá trị lớn nhất của hàm số không tồn tại. Mệnh đề này là sai. d) Phương trình $e^x - x - \theta = 0$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-6;4)$. Lời giải: Phương trình $e^x - x - \theta = 0$ có dạng $e^x = x + \theta$. Để phương trình này có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-6;4)$, ta cần xét đồ thị của hàm số $y = e^x$ và đường thẳng $y = x + \theta$. - Đồ thị của hàm số $y = e^x$ là một đường cong tăng dần từ $-\infty$ đến $+\infty$ và tiếp xúc với trục hoành tại điểm $(0,1)$. - Đường thẳng $y = x + \theta$ là một đường thẳng có hệ số góc bằng 1 và cắt trục tung tại điểm $(0,\theta)$. Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt, đường thẳng $y = x + \theta$ phải cắt đồ thị của hàm số $y = e^x$ tại hai điểm khác nhau trong khoảng $(-6;4)$. Điều này xảy ra khi $\theta$ nằm trong khoảng $(e^{-6} - (-6); e^4 - 4)$. Do đó, mệnh đề này là đúng nếu $\theta$ nằm trong khoảng $(e^{-6} + 6; e^4 - 4)$. Kết luận: a) Sai b) Sai c) Sai d) Đúng (nếu $\theta$ nằm trong khoảng $(e^{-6} + 6; e^4 - 4)$). Câu 13.9. Để xét tính đúng sai của các mệnh đề liên quan đến hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(4 \sin x + 2x + 1) = 4 \cos x + 2 $$ 2. Xét dấu của đạo hàm: Ta cần kiểm tra xem đạo hàm $ f'(x) $ có luôn dương hay không để xác định tính đơn điệu của hàm số. $$ f'(x) = 4 \cos x + 2 $$ Biết rằng $-1 \leq \cos x \leq 1$, ta có: $$ -4 \leq 4 \cos x \leq 4 $$ Do đó: $$ -4 + 2 \leq 4 \cos x + 2 \leq 4 + 2 $$ $$ -2 \leq 4 \cos x + 2 \leq 6 $$ Điều này cho thấy $ f'(x) \geq -2 $. Tuy nhiên, vì $ 4 \cos x + 2 $ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (vì $\cos x$ luôn lớn hơn hoặc bằng -1), ta có: $$ 4 \cos x + 2 \geq 0 $$ Do đó, $ f'(x) \geq 0 $ trên toàn bộ tập xác định của hàm số. 3. Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Vì đạo hàm $ f'(x) \geq 0 $ trên toàn bộ tập xác định, hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x + 1 $ là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Vậy, hàm số $ f(x) = 4 \sin x + 2x + 1 $ là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó.