tam gái ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, hạ các đường cao AH, BK của tam giác ABC. Các tia AH, BK lán lượt cắt đường tròn tâm O tại các điểm thứ 2 là D và E
a) chứng minh tứ giác abkh nội tiếp
b)chứng minh HK.DF=HF.de với F là giao diểm của 2 đường cao AH và BK

Question

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$ (cùng chắn cung AK)
$\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^\circ$
Do đó $\Delta ABH$ đồng dạng với $\Delta ACK$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AK}\Rightarrow AH.AK=AB.AC$
Mà $AB.AC=AH.AD$ (giao tuyến)
$\Rightarrow AH.AK=AH.AD$
$\Rightarrow AK=AD$
$\Rightarrow \widehat{AKD}=\widehat{ADK}$
Ta có $\widehat{AKD}+\widehat{ABK}=180^\circ$ (tổng hai góc kề bù)
$\widehat{ADK}+\widehat{AHK}=180^\circ$ (tổng hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{AHK}$
$\Rightarrow$ Tứ giác ABKH nội tiếp (cùng chắn cung AK)
b) Ta có $\widehat{AFK}=\widehat{DFE}$ (đối đỉnh)
$\widehat{AKF}=\widehat{EDF}$ (cùng chắn cung AE)
$\Rightarrow \Delta AFK$ đồng dạng với $\Delta DFE$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AF}{DF}=\frac{FK}{FE}$
$\Rightarrow AF.FE=DF.FK$

tam gái ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, hạ các đường cao AH, BK của tam giác ABC. Các tia AH, BK lán lượt cắt đường tròn tâm O tại các điểm thứ 2 là D và E a) chứng minh tứ giác abkh nộ...