Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài đường tròn từ A kẻ hai tiếp tuyến tính AD AC (B,C là các tiếp điểm) và đường thẳng qua A Cắt đường tròn O tại hai điểm M N sao cho M nằm giữa A và N Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm của đường thẳng CE với đường tròn chứng minh
a) 4 điểm A,O,C cùng nằm trên một đường tròn
b) góc AOC = góc BIC và BI song song MN

Question

Accepted Answer

a) Ta có: $OA \perp AD$ và $OC \perp AC$ (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: $A, O, C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AC$

b) Ta có: $OC = OB$ (bán kính)
Suy ra: $\widehat{OBC} = \widehat{OCB}$ (góc ở đáy)
Mà $\widehat{OCB} = \widehat{ACN}$ (cùng chắn cung $ON$)
Suy ra: $\widehat{OBC} = \widehat{ACN}$ (1)
Ta có: $CE$ là đường kính (vì $E$ là trung điểm của $MN$)
Suy ra: $\widehat{CNB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà $\widehat{ABC} = 90^\circ$ (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra: $\widehat{CNB} = \widehat{ABC}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{OBC} + \widehat{CNB} = \widehat{ACN} + \widehat{ABC}$
Hay $\widehat{AOC} = \widehat{BIC}$
Ta có: $\widehat{BIC} = \widehat{CNB}$ (chung đỉnh $I$ và cùng chắn cung $BC$)
Suy ra: $\widehat{AOC} = \widehat{CNB}$
Mà $\widehat{CNB} = 90^\circ$ (chứng minh trên)
Suy ra: $\widehat{AOC} = 90^\circ$
Suy ra: $BI \perp OC$ (vì $\widehat{BIC} = 90^\circ$)
Mà $MN \perp OC$ (vì $E$ là trung điểm của $MN$)
Suy ra: $BI \parallel MN$

Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài đường tròn từ A kẻ hai tiếp tuyến tính AD AC (B,C là các tiếp điểm) và đường thẳng qua A Cắt đường tròn O tại hai điểm M N sao cho M nằm giữa A và N Gọi E là tr...