Giúp mình với! Bài 7. Cho phương trình bậc hai: $(m-2)x^2-2(m-1)x-m-+=0.$,Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:,a) Có 2 nghiệm dương phân biệt;,c) Có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: $3(x_1-x_2)=5x_1x_2$

Question

Accepted Answer

Bài 7. Để giải quyết yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của câu hỏi theo thứ tự. Phần a: Tìm các giá trị của tham số $ m $ để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt Phương trình bậc hai đã cho là: $$ (m-2)x^2 - 2(m-1)x - m - 1 = 0 $$ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: 1. $ m - 2 \neq 0 $ (để đảm bảo đây là phương trình bậc hai) 2. $ \Delta > 0 $ (để phương trình có hai nghiệm phân biệt) 3. $ S > 0 $ và $ P > 0 $ (để hai nghiệm đều dương) Bước 1: Xác định điều kiện $ m - 2 \neq 0 $ $$ m \neq 2 $$ Bước 2: Tính $ \Delta $ $$ \Delta = b^2 - 4ac $$ $$ a = m - 2, \quad b = -2(m-1), \quad c = -(m+1) $$ $$ \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(m-2)(-(m+1)) $$ $$ \Delta = 4(m-1)^2 + 4(m-2)(m+1) $$ $$ \Delta = 4[(m-1)^2 + (m-2)(m+1)] $$ $$ \Delta = 4[m^2 - 2m + 1 + m^2 - m - 2] $$ $$ \Delta = 4[2m^2 - 3m - 1] $$ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$ 2m^2 - 3m - 1 > 0 $$ Bước 3: Giải bất phương trình $ 2m^2 - 3m - 1 > 0 $ Tìm nghiệm của phương trình $ 2m^2 - 3m - 1 = 0 $: $$ m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} $$ Bất phương trình $ 2m^2 - 3m - 1 > 0 $ đúng khi: $$ m < \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \quad \text{hoặc} \quad m > \frac{3 + \sqrt{17}}{4} $$ Bước 4: Xác định $ S $ và $ P $ $$ S = \frac{-b}{a} = \frac{2(m-1)}{m-2} $$ $$ P = \frac{c}{a} = \frac{-(m+1)}{m-2} $$ Để hai nghiệm dương: $$ S > 0 \quad \text{và} \quad P > 0 $$ $$ \frac{2(m-1)}{m-2} > 0 \quad \text{và} \quad \frac{-(m+1)}{m-2} > 0 $$ Từ đây, ta thấy $ m $ phải thỏa mãn: $$ m > 2 \quad \text{hoặc} \quad m < 1 $$ Kết hợp tất cả các điều kiện: $$ m > \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \quad \text{và} \quad m > 2 $$ $$ m < \frac{3 - \sqrt{17}}{4} \quad \text{và} \quad m < 1 $$ Do đó, các giá trị của $ m $ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: $$ m > \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \quad \text{hoặc} \quad m < \frac{3 - \sqrt{17}}{4} $$ Phần c: Tìm các giá trị của tham số $ m $ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2 $ thỏa mãn $ 3(x_1 - x_2) = 5x_1x_2 $ Bước 1: Áp dụng hệ thức Viète $$ x_1 + x_2 = \frac{2(m-1)}{m-2} $$ $$ x_1 x_2 = \frac{-(m+1)}{m-2} $$ Bước 2: Thay vào điều kiện $ 3(x_1 - x_2) = 5x_1x_2 $ $$ 3(x_1 - x_2) = 5x_1x_2 $$ $$ 3(x_1 - x_2) = 5 \left( \frac{-(m+1)}{m-2} \right) $$ $$ 3(x_1 - x_2) = \frac{-5(m+1)}{m-2} $$ Bước 3: Tính $ x_1 - x_2 $ $$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{a} = \frac{\sqrt{4(2m^2 - 3m - 1)}}{m-2} = \frac{2\sqrt{2m^2 - 3m - 1}}{m-2} $$ Thay vào: $$ 3 \left( \frac{2\sqrt{2m^2 - 3m - 1}}{m-2} \right) = \frac{-5(m+1)}{m-2} $$ $$ 6\sqrt{2m^2 - 3m - 1} = -5(m+1) $$ Bước 4: Giải phương trình $$ 6\sqrt{2m^2 - 3m - 1} = -5(m+1) $$ Có thể thấy phương trình này không có nghiệm thực vì vế trái là số dương còn vế phải là số âm. Do đó, không có giá trị của $ m $ thỏa mãn điều kiện $ 3(x_1 - x_2) = 5x_1x_2 $. Kết luận a) Các giá trị của tham số $ m $ để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: $$ m > \frac{3 + \sqrt{17}}{4} \quad \text{hoặc} \quad m < \frac{3 - \sqrt{17}}{4} $$ c) Không có giá trị của tham số $ m $ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2 $ thỏa mãn $ 3(x_1 - x_2) = 5x_1x_2 $.