Jdbvssbssbsbsbs Câu 1. Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao,hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone).,Trong không gian Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương,ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng,được xem là một phần của mặt phẳng (P) thẳng đứng, đi qua,hai điểm $C(10;50;0)$ và $D(30;10;0).$ Vị trí giao hàng là điểm,B nằm trên mặt phẳng (P). Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại,gốc tọa độ $O(0;0;0).$ Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng,đến vị trí $A(30;40;120).$ Từ vị trí A, drone thay đổi đường,bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) đến,vị trí giao hàng B . Tính khoảng cách từ O đến B (làm tròn,đến hàng đơn vị). 144

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai điểm C và D.
2. Tìm phương vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
3. Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).
4. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P) để xác định vị trí B.
5. Tính khoảng cách từ O đến B.

Bước 1: Xác định phương trình của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm C(10;50;0) và D(30;10;0) có dạng:
$$ a(x - 10) + b(y - 50) + c(z - 0) = 0 $$

Ta cần tìm các hệ số a, b, c. Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm D(30;10;0), thay vào phương trình:
$$ a(30 - 10) + b(10 - 50) + c(0 - 0) = 0 $$
$$ 20a - 40b = 0 $$
$$ a = 2b $$

Chọn b = 1, ta có a = 2. Thay vào phương trình:
$$ 2(x - 10) + 1(y - 50) + c(z - 0) = 0 $$
$$ 2x + y - 70 + cz = 0 $$

Vì mặt phẳng (P) thẳng đứng, z không thay đổi, nên c = 0. Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là:
$$ 2x + y - 70 = 0 $$

Bước 2: Tìm phương vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (2, 1, 0)$.

Bước 3: Xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P).

Đường thẳng đi qua điểm A(30;40;120) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương vectơ $\vec{n} = (2, 1, 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là:
$$ x = 30 + 2t $$
$$ y = 40 + t $$
$$ z = 120 $$

Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (P) để xác định vị trí B.

Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng (P):
$$ 2(30 + 2t) + (40 + t) - 70 = 0 $$
$$ 60 + 4t + 40 + t - 70 = 0 $$
$$ 5t + 30 = 0 $$
$$ t = -6 $$

Thay t = -6 vào phương trình đường thẳng:
$$ x = 30 + 2(-6) = 18 $$
$$ y = 40 + (-6) = 34 $$
$$ z = 120 $$

Vậy vị trí giao hàng B là (18;34;120).

Bước 5: Tính khoảng cách từ O đến B.

Khoảng cách từ O(0;0;0) đến B(18;34;120) là:
$$ OB = \sqrt{(18-0)^2 + (34-0)^2 + (120-0)^2} $$
$$ OB = \sqrt{18^2 + 34^2 + 120^2} $$
$$ OB = \sqrt{324 + 1156 + 14400} $$
$$ OB = \sqrt{15880} $$
$$ OB \approx 126 $$

Vậy khoảng cách từ O đến B là 126 mét.