Giải giúp e vs ạ Bai 11. (1,5 điểm),Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+9}$ và $Q=\frac{2\sqrt x-6}{x-3\sqrt x}+\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-3}$,$(x0,~x
e9)$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Chứng minh $Q=\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}.$,$3)~Cho~A=P.Q.$ Tìm các số nguyên x để $\sqrt A\leq\frac12$,Bài III. (2 5 điểm)

Question

Giải giúp e vs ạ Bai 11. (1,5 điểm),Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+9}$ và $Q=\frac{2\sqrt x-6}{x-3\sqrt x}+\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-3}$,$(x>0,~x
e9)$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Chứng minh $Q=\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}.$,$3)~Cho~A=P.Q.$ Tìm các số nguyên x để $\sqrt A\leq\frac12$,Bài III. (2 5 điểm)

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần 1: Tính giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = 25 $

Biểu thức $ P = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 9} $.

Thay $ x = 25 $:

$$ \sqrt{25} = 5 $$

Do đó:

$$ P = \frac{5 - 3}{5 + 9} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $$

Phần 2: Chứng minh $ Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $

Biểu thức $ Q = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 3\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $.

Chúng ta sẽ biến đổi từng phân thức:

1. $ \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 3\sqrt{x}} $:

$$ x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) $$

Do đó:

$$ \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$

2. $ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} $:

$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} $$

3. $ \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $:

Bây giờ, cộng các phân thức lại:

$$ Q = \frac{2}{\sqrt{x}} + 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

$$ Q = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Chúng ta thấy rằng:

$$ Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $$

Phần 3: Tìm các số nguyên $ x $ để $ \sqrt{A} \leq \frac{1}{2} $

Biểu thức $ A = P \cdot Q $:

$$ A = \left( \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 9} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} \right) = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 9} $$

Yêu cầu $ \sqrt{A} \leq \frac{1}{2} $:

$$ \sqrt{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 9}} \leq \frac{1}{2} $$

平方两边：

$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 9} \leq \frac{1}{4} $$

交叉相乘：

$$ 4(\sqrt{x} - 2) \leq \sqrt{x} + 9 $$

展开并整理：

$$ 4\sqrt{x} - 8 \leq \sqrt{x} + 9 $$

$$ 3\sqrt{x} \leq 17 $$

$$ \sqrt{x} \leq \frac{17}{3} \approx 5.67 $$

因此，$ x \leq 32 $（因为 $ \sqrt{32} \approx 5.66 $）。

考虑到 $ x $ 是正整数且 $ x \neq 9 $，我们有：

$$ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 $$

最终答案是：

$$ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32 $$

Bài III.
Câu hỏi: 
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ B về A.

Giải:
Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: $ x $ (đơn vị: km/h; điều kiện: $ x > 0 $).

Vận tốc khi người đó đi từ B về A là: $ x + 3 $ (km/h).

Thời gian đi từ A đến B là: $ \frac{36}{x} $ (giờ).

Thời gian đi từ B về A là: $ \frac{36}{x + 3} $ (giờ).

Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút, tức là:
$$ \frac{36}{x} - \frac{36}{x + 3} = \frac{36}{60} = 0,6 \text{ (giờ)} $$

Quy đồng và giải phương trình:
$$ \frac{36(x + 3) - 36x}{x(x + 3)} = 0,6 $$
$$ \frac{36x + 108 - 36x}{x(x + 3)} = 0,6 $$
$$ \frac{108}{x(x + 3)} = 0,6 $$
$$ 108 = 0,6x(x + 3) $$
$$ 108 = 0,6x^2 + 1,8x $$
$$ 0,6x^2 + 1,8x - 108 = 0 $$
$$ x^2 + 3x - 180 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 180}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2} $$
$$ x = \frac{-3 \pm 27}{2} $$

Ta có hai nghiệm:
$$ x_1 = \frac{24}{2} = 12 $$
$$ x_2 = \frac{-30}{2} = -15 $$ (loại vì $ x > 0 $)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12 km/h.

Vận tốc khi người đó đi từ B về A là:
$$ 12 + 3 = 15 \text{ (km/h)} $$

Đáp số: 15 km/h.