Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2/ Cho tam giác ABC nhọn $(AB

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 2/ Cho tam giác ABC nhọn $(AB<AC).$ Đường tròn (O) đường kính BC cắt,AB, AC lần lượt tại E và D; BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại I $(I\in BC).$,a/ Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp.,b/ Chứng minh $AB.BE=BI.BC,$ từ đó suy ra $AB.BE+AC.CD=BC^2.$,c/ Từ I kẻ đường thẳng song song với DE, cắt đường thẳng AB tại M và cắt,CH tại N. Chứng minh $IN=IM.$

Accepted Answer

a/ Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{AED}+\widehat{AHE}=180^\circ$
$\Rightarrow$ Tứ giác AEHD nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)

b/ Ta có $\widehat{BAH}=\widehat{CAI}$ (cùng bù với $\widehat{IAE})$
$\widehat{ABH}=\widehat{ACI}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
$\Rightarrow 	riangle ABH \sim 	riangle ACI$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{AH}{AC}=\frac{BH}{CI}$
$\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{BH}{CI}$
$\Rightarrow AB.CI=AI.BH$
$\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{BH}{CI}$
$\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{BE}{BI}$ (giao điểm của hai đường cao trong tam giác)
$\Rightarrow AB.BI=AI.BE$
$\Rightarrow AB.BE=BI.BC$
Tương tự ta có $AC.CD=CI.CB$
$\Rightarrow AB.BE+AC.CD=BI.BC+CI.CB=BC^2$

c/ Ta có $\widehat{MNI}=\widehat{EDC}=\widehat{EBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
$\widehat{MNI}=\widehat{MCI}$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \widehat{MCI}=\widehat{MBC}$
$\Rightarrow 	riangle IMC$ cân tại I
$\Rightarrow IN=IM$