giúp mình với Câu 2. Cho biểu thức: $A=\frac{x-1}{\sqrt x+1}:(\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+3}-\frac{x-5\sqrt x}{x-9}),$ với $x\geq0,~x
e9.$,a) Rút gọn biểu thức A ;,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A..

Question

Accepted Answer

{"userId":5376644,"userName":"Duy Allain"}

a) Ta có:

$A = \frac{x-1}{\sqrt{x}+1} : (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} - \frac{x-5\sqrt{x}}{x-9})$

$A = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} : (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} - \frac{x-5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)})$

$A = (\sqrt{x}-1) : (\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3) - (x-5\sqrt{x})}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)})$

$A = (\sqrt{x}-1) : (\frac{x - 4\sqrt{x} + 3 - x + 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)})$

$A = (\sqrt{x}-1) : (\frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)})$

$A = (\sqrt{x}-1) : \frac{1}{\sqrt{x}-3}$

$A = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-3)$

$A = x - 4\sqrt{x} + 3$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$.

Ta có $A = x - 4\sqrt{x} + 3 = (\sqrt{x})^2 - 2.2\sqrt{x} + 4 - 1 = (\sqrt{x} - 2)^2 - 1$.

Vì $(\sqrt{x} - 2)^2 \ge 0$ nên $(\sqrt{x} - 2)^2 - 1 \ge -1$.

Dấu "=" xảy ra khi $\sqrt{x} = 2$ hay $x=4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $-1$ khi $x=4$.

Final Answer: The final answer is $\boxed{-1}$