giúp với 😭 Câu 15. Khai triển $(x+\frac1x)^4.$ Khi đó,a) Hệ số của $x^2$ là $\frac14.$,b) Số hạng không chứa x là 6 .,c) Hệ số của $x^4$ là 1.,d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.,Câu 16. Cho elip $(E):~\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}9=1.$ Khi đó:,a) Điểm $A(4;0)$ thuộc elip (E).,b) Tiêu cự elip (E) bằng $\sqrt7$,c) Elip (E) có tiêu điểm $F_1(-2\sqrt7;0),~F_2(2\sqrt7;0)$,d) Cho M là điểm thuộc (E) thoả mãn $ME_1+2MF_2=11.$ Khi đó $2MF_1+MF_2=13.$

Question

Accepted Answer

Câu 15.
Để khai triển biểu thức $(x + \frac{1}{x})^4$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton.

Công thức nhị thức Newton cho phép ta khai triển $(a + b)^n$ dưới dạng:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, $a = x$, $b = \frac{1}{x}$, và $n = 4$. Ta áp dụng công thức:
$$
(x + \frac{1}{x})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k
$$

Ta sẽ tính từng số hạng:
- Khi $k = 0$:
  $$
  \binom{4}{0} x^{4-0} \left(\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
  $$
- Khi $k = 1$:
  $$
  \binom{4}{1} x^{4-1} \left(\frac{1}{x}\right)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x} = 4x^2
  $$
- Khi $k = 2$:
  $$
  \binom{4}{2} x^{4-2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 6
  $$
- Khi $k = 3$:
  $$
  \binom{4}{3} x^{4-3} \left(\frac{1}{x}\right)^3 = 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{4}{x^2}
  $$
- Khi $k = 4$:
  $$
  \binom{4}{4} x^{4-4} \left(\frac{1}{x}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4}
  $$

Gộp tất cả các số hạng lại, ta có:
$$
(x + \frac{1}{x})^4 = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}
$$

Bây giờ, ta kiểm tra các phát biểu:
a) Hệ số của $x^2$ là 4, không phải $\frac{1}{4}$.
b) Số hạng không chứa $x$ là 6.
c) Hệ số của $x^4$ là 1.
d) Biểu thức sau khi khai triển có 5 số hạng.

Vậy, các phát biểu đúng là:
- b) Số hạng không chứa $x$ là 6.
- c) Hệ số của $x^4$ là 1.
- d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Đáp án: b, c, d.

Câu 16.
a) Ta có $\frac{4^2}{16}+\frac{0^2}{9}=1$. Vậy điểm $A(4;0)$ thuộc elip (E).

b) Ta có $a^2 = 16$, $b^2 = 9$. Suy ra $c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 9 = 7$. Vậy tiêu cự elip (E) là $2c = 2\sqrt{7}$.

c) Tiêu điểm của elip (E) là $F_1(-\sqrt{7};0)$ và $F_2(\sqrt{7};0)$.

d) Gọi $M$ là điểm thuộc (E) thỏa mãn $ME_1 + 2MF_2 = 11$. Ta biết rằng tổng khoảng cách từ một điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là hằng số và bằng $2a$. Do đó, ta có:
$$ ME_1 + MF_2 = 2a = 2 \times 4 = 8 $$

Từ đây, ta có:
$$ ME_1 + 2MF_2 = 11 $$
$$ ME_1 + MF_2 = 8 $$

Trừ hai phương trình này, ta được:
$$ (ME_1 + 2MF_2) - (ME_1 + MF_2) = 11 - 8 $$
$$ MF_2 = 3 $$

Thay lại vào phương trình $ME_1 + MF_2 = 8$, ta có:
$$ ME_1 + 3 = 8 $$
$$ ME_1 = 5 $$

Bây giờ, ta tính $2MF_1 + MF_2$:
$$ 2MF_1 + MF_2 = 2 \times 5 + 3 = 10 + 3 = 13 $$

Vậy $2MF_1 + MF_2 = 13$.

Đáp án đúng là d) $2MF_1 + MF_2 = 13$.