giải giúp mình ạ dung noạc sai. là một nguyên hàm của hàm số $f(x).$,Câu 1. Xét $f(x)=3x^2-x,~F(x)$,$a)~F(x)=x^3-\frac{x^2}2$ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x).$ (,b) Giả sử $F(2)=3.$ Khi đó $F(x)=x^3-\frac{x^2}2-3.$,$c)~\int^b_a(3x^2-x)dx=\int^a_b(x-3x^2)dx,~\forall a,b\in\mathbb R.$,d) Cho $\int^b_a(3x^2-x)dx=22,\int^b_c(\frac x3-x^2)dx=30.$ Khi đó $\int^c_a(3x^2-x)dx=112.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) Ta có $F'(x)=3x^2-x=f(x)$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x).$
Mặt khác, mọi nguyên hàm của $f(x)$ đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là hằng số.
Do đó, $F(x)=x^3-\frac{x^2}2+C$ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x).$

b) Ta có $F(2)=3$ suy ra $2^3-\frac{2^2}2+C=3$ suy ra $C=-3.$
Vậy $F(x)=x^3-\frac{x^2}2-3.$

c) Ta có $\int^b_a(3x^2-x)dx=-(\int^a_b(3x^2-x)dx).$
Mặt khác, $\int^a_b(x-3x^2)dx=-\int^a_b(3x^2-x)dx.$
Do đó, $\int^b_a(3x^2-x)dx=\int^a_b(x-3x^2)dx.$

d) Ta có $\int^b_a(3x^2-x)dx=22$ và $\int^b_c(\frac x3-x^2)dx=30.$
Suy ra $\int^b_a(3x^2-x)dx+\int^b_c(\frac x3-x^2)dx=22+30=52.$
Mặt khác, $\int^b_a(3x^2-x)dx+\int^b_c(\frac x3-x^2)dx=\int^b_a(3x^2-x)dx+\int^c_b(3x^2-x)dx=\int^c_a(3x^2-x)dx.$
Do đó, $\int^c_a(3x^2-x)dx=52.$