Bbbn…..guipd ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 12,PHẦN I: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của,$f(x)$ trên $(0;+\infty)?$,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$,$C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm,của $f(x)$ trên $(0;+\infty)?$,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$,$C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 3: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+4$ là,$A.~2x^2+4x+C.$ $B.~x^2+4x+C.$ $C.~x^2+C.$ $D.~2x^2+C.$,Câu 4: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac13x^3-2x^2+x-2024$ thỏa mãn $F(1)=-2024$ là,$A.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac5{12}.$ $B.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac1{12}.$,$C.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac1{12}.$ $D.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac5{12}.$,Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{5x-2}.$,$A.~\int\frac{dx}{5x-2}=\frac15\ln|5x-2|+C.$ $B.~\int\frac{dx}{5x-2}=\ln|5x-2|+C.$,$C.~\int\frac{dx}{5x-2}=-\frac12\ln|5x-2|+C.$ $D.~\int\frac{dx}{5x-2}=5\ln|5x-2|+C.$,Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^2}3+\frac2x+C$,Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là:,$A.~3\sin x-4\cos x.$ $B.~-3\sin x+4\cos x.$,$C.~3\sin x+4\cos x+C.$ $D.~-3\sin x+4\cos x+C.$,Câu 8. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac3{\sin^2x}$ là:,$A.~-2\cos x-3\cot x+C.$ $B.~2\cos x-3 an x+C.$,$C.~-2\cos x+3\cot x+C.$ $D.~2\cos x-3\cot x+C.$,Câu 9. Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2\sin x-\cos x$ thỏa mãn $F(\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}2$ là,$A.~F(x)=2\cos x-\sin x-1.$ $B.~F(x)=2\cos x+\sin x-1-\sqrt3.$,$C.~F(x)=-2\cos x-\sin x+1.$ $D.~F(x)=-2\cos x-\sin x-1.$

Question

Bbbn…..guipd ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II TOÁN 12,PHẦN I: NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN,PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của,$f(x)$ trên $(0;+\infty)?$,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$,$C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 2: Cho hàm số $f(x)=3+\frac1x.$ Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm,của $f(x)$ trên $(0;+\infty)?$,$A.~F_1(x)=3x-\frac1{x^2}.$ $B.~F_2(x)=3x+\ln x.$,$C.~F_3(x)=3x+\frac1{x^2}.$ $D.~F_4(x)=3x-\ln x.$,Câu 3: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+4$ là,$A.~2x^2+4x+C.$ $B.~x^2+4x+C.$ $C.~x^2+C.$ $D.~2x^2+C.$,Câu 4: Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac13x^3-2x^2+x-2024$ thỏa mãn $F(1)=-2024$ là,$A.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac5{12}.$ $B.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac1{12}.$,$C.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x+\frac1{12}.$ $D.~\frac1{12}x^4-\frac23x^3+\frac12x^2-2024x-\frac5{12}.$,Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{5x-2}.$,$A.~\int\frac{dx}{5x-2}=\frac15\ln|5x-2|+C.$ $B.~\int\frac{dx}{5x-2}=\ln|5x-2|+C.$,$C.~\int\frac{dx}{5x-2}=-\frac12\ln|5x-2|+C.$ $D.~\int\frac{dx}{5x-2}=5\ln|5x-2|+C.$,Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+\frac2{x^2}.$,$A.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3+\frac1x+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac2x+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac{x^3}3-\frac1x+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac{x^2}3+\frac2x+C$,Câu 7. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là:,$A.~3\sin x-4\cos x.$ $B.~-3\sin x+4\cos x.$,$C.~3\sin x+4\cos x+C.$ $D.~-3\sin x+4\cos x+C.$,Câu 8. Nguyên hàm của hàm số $f(x)=2\sin x+\frac3{\sin^2x}$ là:,$A.~-2\cos x-3\cot x+C.$ $B.~2\cos x-3	an x+C.$,$C.~-2\cos x+3\cot x+C.$ $D.~2\cos x-3\cot x+C.$,Câu 9. Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2\sin x-\cos x$ thỏa mãn $F(\frac\pi3)=-\frac{\sqrt3}2$ là,$A.~F(x)=2\cos x-\sin x-1.$ $B.~F(x)=2\cos x+\sin x-1-\sqrt3.$,$C.~F(x)=-2\cos x-\sin x+1.$ $D.~F(x)=-2\cos x-\sin x-1.$

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3 + \frac{1}{x} $ trên khoảng $(0; +\infty)$, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số nào có đạo hàm bằng $ f(x) $.

A. $ F_1(x) = 3x - \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \frac{1}{x^2}\right) = 3 + \frac{2}{x^3} $$

$ F'_1(x) \neq f(x) $, nên $ F_1(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \ln x\right) = 3 + \frac{1}{x} $$

$ F'_2(x) = f(x) $, nên $ F_2(x) $ là nguyên hàm của $ f(x) $.

C. $ F_3(x) = 3x + \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F'_3(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \frac{1}{x^2}\right) = 3 - \frac{2}{x^3} $$

$ F'_3(x) \neq f(x) $, nên $ F_3(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

D. $ F_4(x) = 3x - \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F'_4(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \ln x\right) = 3 - \frac{1}{x} $$

$ F'_4(x) \neq f(x) $, nên $ F_4(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

Vậy, trong các hàm số đã cho, chỉ có $ F_2(x) = 3x + \ln x $ là nguyên hàm của $ f(x) $ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Đáp án đúng là: B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $.

Câu 2:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3 + \frac{1}{x} $ trên khoảng $(0; +\infty)$, ta cần kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số nào có đạo hàm bằng $ f(x) $.

A. $ F_1(x) = 3x - \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_1(x) $:
$$ F'_1(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \frac{1}{x^2}\right) = 3 + \frac{2}{x^3} $$

$ F'_1(x) \neq f(x) $, nên $ F_1(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_2(x) $:
$$ F'_2(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \ln x\right) = 3 + \frac{1}{x} $$

$ F'_2(x) = f(x) $, nên $ F_2(x) $ là nguyên hàm của $ f(x) $.

C. $ F_3(x) = 3x + \frac{1}{x^2} $

Tính đạo hàm của $ F_3(x) $:
$$ F'_3(x) = \frac{d}{dx}\left(3x + \frac{1}{x^2}\right) = 3 - \frac{2}{x^3} $$

$ F'_3(x) \neq f(x) $, nên $ F_3(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

D. $ F_4(x) = 3x - \ln x $

Tính đạo hàm của $ F_4(x) $:
$$ F'_4(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - \ln x\right) = 3 - \frac{1}{x} $$

$ F'_4(x) \neq f(x) $, nên $ F_4(x) $ không phải là nguyên hàm của $ f(x) $.

Vậy, trong các hàm số đã cho, chỉ có $ F_2(x) = 3x + \ln x $ là nguyên hàm của $ f(x) $ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Đáp án đúng là: B. $ F_2(x) = 3x + \ln x $.

Câu 3:
Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 2x + 4 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số:
   - Nguyên hàm của $ 2x $ là $ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $.
   - Nguyên hàm của $ 4 $ là $ \int 4 \, dx = 4x $.

2. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng:
   - Nguyên hàm của $ f(x) = 2x + 4 $ là $ \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C $, trong đó $ C $ là hằng số nguyên hàm.

Do đó, tất cả các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 2x + 4 $ là:
$$ x^2 + 4x + C $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ B.~x^2 + 4x + C $$

Câu 4:
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + x - 2024 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong $ f(x) $:
   - Nguyên hàm của $ \frac{1}{3}x^3 $ là $ \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{12}x^4 $.
   - Nguyên hàm của $ -2x^2 $ là $ -2 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{2}{3}x^3 $.
   - Nguyên hàm của $ x $ là $ \frac{x^2}{2} $.
   - Nguyên hàm của $ -2024 $ là $ -2024x $.

2. Viết tổng các nguyên hàm trên:
   $$
   F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + C
   $$
   Trong đó, $ C $ là hằng số nguyên hàm.

3. Áp dụng điều kiện $ F(1) = -2024 $ để tìm $ C $:
   $$
   F(1) = \frac{1}{12}(1)^4 - \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 - 2024(1) + C = -2024
   $$
   Thay $ x = 1 $ vào:
   $$
   \frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2024 + C = -2024
   $$

4. Tính toán các giá trị:
   $$
   \frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{1 - 8 + 6}{12} = -\frac{1}{12}
   $$
   Do đó:
   $$
   -\frac{1}{12} - 2024 + C = -2024
   $$
   $$
   C = -2024 + 2024 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}
   $$

5. Viết lại nguyên hàm cuối cùng:
   $$
   F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12}
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ 
C.~\frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2024x + \frac{1}{12}.
$$

Câu 5:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{5x - 2} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định dạng nguyên hàm: 
   Ta nhận thấy rằng hàm số $ f(x) = \frac{1}{5x - 2} $ có dạng $ \frac{1}{ax + b} $. Nguyên hàm của dạng này là $ \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C $.

2. Áp dụng công thức nguyên hàm:
   Trong trường hợp này, $ a = 5 $ và $ b = -2 $. Do đó, nguyên hàm của $ \frac{1}{5x - 2} $ sẽ là:
   $$
   \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C
   $$

3. Kiểm tra đáp án:
   So sánh với các lựa chọn đã cho:
   - A. $ \int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C $
   - B. $ \int \frac{dx}{5x - 2} = \ln |5x - 2| + C $
   - C. $ \int \frac{dx}{5x - 2} = -\frac{1}{2} \ln |5x - 2| + C $
   - D. $ \int \frac{dx}{5x - 2} = 5 \ln |5x - 2| + C $

Đáp án đúng là A.

Đáp án:
$$
\boxed{A.~\int \frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5} \ln |5x - 2| + C}
$$

Câu 6:
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $, chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.

Bước 1: Tính nguyên hàm của $ x^2 $:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của $ \frac{2}{x^2} $:
$$ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 $$

Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên:
$$ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Trong đó, $ C = C_1 + C_2 $ là hằng số tích phân.

Vậy nguyên hàm của hàm số $ f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2} $ là:
$$ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ B.~\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C $$

Câu 7.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$, ta thực hiện như sau:

1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ:
   - Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$.
   - Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$.

2. Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm:
   - Nguyên hàm của $3\cos x$ là $3\sin x$.
   - Nguyên hàm của $-4\sin x$ là $4\cos x$.

3. Kết hợp lại và thêm hằng số nguyên hàm $C$:
   - Nguyên hàm của $f(x)$ là $3\sin x + 4\cos x + C$.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ C.~3\sin x + 4\cos x + C. $$

Câu 8.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số:
   - Nguyên hàm của $2\sin x$:
     $$
     \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1
     $$
   - Nguyên hàm của $\frac{3}{\sin^2 x}$:
     $$
     \int \frac{3}{\sin^2 x} \, dx = 3 \int \csc^2 x \, dx = -3\cot x + C_2
     $$

2. Gộp các kết quả lại:
   $$
   \int f(x) \, dx = \int (2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) \, dx = -2\cos x - 3\cot x + C
   $$

Vậy nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ là:
$$
-2\cos x - 3\cot x + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:
$$
A. ~-2\cos x - 3\cot x + C
$$

Câu 9.
Để tìm nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = 2\sin x - \cos x $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của $ f(x) $:
   $$
   F(x) = \int (2\sin x - \cos x) \, dx
   $$
   Ta tính nguyên hàm từng phần:
   $$
   \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1
   $$
   $$
   \int -\cos x \, dx = -\sin x + C_2
   $$
   Kết hợp lại, ta có:
   $$
   F(x) = -2\cos x - \sin x + C
   $$

2. Áp dụng điều kiện $ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ để xác định hằng số $ C $:
   $$
   F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + C
   $$
   Biết rằng:
   $$
   \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}, \quad \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
   $$
   Thay vào:
   $$
   F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C
   $$
   Theo đề bài, ta có:
   $$
   -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -\frac{\sqrt{3}}{2}
   $$
   Giải ra $ C $:
   $$
   C = -1
   $$

3. Viết kết quả cuối cùng:
   $$
   F(x) = -2\cos x - \sin x - 1
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ D.~F(x) = -2\cos x - \sin x - 1. $$