hbdbdjsjsv iu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) tâm,$I(-2;3;0)$ và đường thẳng $\Delta:\frac{x-4}2=\frac{y-3}1=\frac{z-3}2.$,Biết đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho $AB=8.$ Tính bán kính của,mặt cầu (S)

Question

Accepted Answer

Để tính bán kính của mặt cầu (S), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng:
   - Tâm mặt cầu $ I(-2; 3; 0) $.
   - Đường thẳng $\Delta$ có phương vector $\vec{d} = (2, 1, 2)$ và đi qua điểm $M(4, 3, 3)$.

Vector $ \overrightarrow{IM} = (4 - (-2), 3 - 3, 3 - 0) = (6, 0, 3) $.

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ được tính bằng công thức:
   $$
   d(I, \Delta) = \frac{\| \overrightarrow{IM} \times \vec{d} \|}{\| \vec{d} \|}
   $$

Tính tích vector:
   $$
   \overrightarrow{IM} \times \vec{d} = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   6 & 0 & 3 \
   2 & 1 & 2
   \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - \vec{j}(6 \cdot 2 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(6 \cdot 1 - 0 \cdot 2)
   = \vec{i}(-3) - \vec{j}(12 - 6) + \vec{k}(6)
   = (-3, -6, 6)
   $$

Độ dài của vector này:
   $$
   \| \overrightarrow{IM} \times \vec{d} \| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9
   $$

Độ dài của vector $\vec{d}$:
   $$
   \| \vec{d} \| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$

Vậy khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   d(I, \Delta) = \frac{9}{3} = 3
   $$

2. Áp dụng công thức tính bán kính:
   - Biết rằng đoạn thẳng $AB = 8$, ta có thể vẽ hình chiếu vuông góc từ tâm $I$ xuống đường thẳng $\Delta$ tạo thành tam giác vuông với các cạnh là bán kính $R$, khoảng cách $d(I, \Delta)$ và nửa đoạn thẳng $AB/2$.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:
   $$
   R^2 = d(I, \Delta)^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2
   $$
   $$
   R^2 = 3^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 9 + 16 = 25
   $$
   $$
   R = \sqrt{25} = 5
   $$

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là $5$.