Ggggifjfhghhh Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+9}$ và $Q=\frac{2\sqrt x-6}{x-3\sqrt x}+\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-3}$,$(x0,~x
e9)$ $\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+5}\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Chứng minh $Q=\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}.$

Question

Ggggifjfhghhh Cho biểu thức $P=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+9}$ và $Q=\frac{2\sqrt x-6}{x-3\sqrt x}+\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-3}$,$(x>0,~x
e9)$ $\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+5}\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Chứng minh $Q=\frac{\sqrt x-2}{\sqrt x-3}.$

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần 1: Tính giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = 25 $

Biểu thức $ P $ được cho là:
$$ P = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 9} $$

Thay $ x = 25 $ vào biểu thức $ P $:
$$ \sqrt{25} = 5 $$
$$ P = \frac{5 - 3}{5 + 9} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = 25 $ là:
$$ P = \frac{1}{7} $$

Phần 2: Chứng minh $ Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $

Biểu thức $ Q $ được cho là:
$$ Q = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 3\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Chúng ta sẽ biến đổi từng phân thức trong biểu thức $ Q $:

1. Biến đổi phân thức đầu tiên:
$$ \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2}{\sqrt{x}} $$

2. Biến đổi phân thức thứ hai:
$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} $$

3. Biến đổi phân thức thứ ba:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Bây giờ, chúng ta cộng các phân thức lại:
$$ Q = \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Tìm mẫu chung cho các phân thức:
$$ Q = \frac{2 + (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$
$$ Q = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$
$$ Q = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Chúng ta thấy rằng:
$$ Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $$

Vậy đã chứng minh được:
$$ Q = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $$

Kết luận:
1. Giá trị của biểu thức $ P $ khi $ x = 25 $ là $ \frac{1}{7} $.
2. Biểu thức $ Q $ được chứng minh là $ \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} $.