giải chi tiết Câu 20. Trong không gian Oxyz , một viên đận được băn ra từ điêm $A(2;1;3)$ với vận tôc không đổi,,vectơ vận tốc 9 (trên giây) là $\overrightarrow v=(2;1;5).$ Biết mục tiêu đặt ở vị trí có tọa độ $B(8;4;18),$ hỏi,trong thời gian bao lâu (giây) viên đạn trên bay trúng vào mục tiêu?,Câu 21. Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị,nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ,tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơơ buuộ dây neo) óó ta độ ương,ứng là $O(0;0;0),~A(5;-3;1),~B(-3;-4;2),$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai,dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $C(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn,thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết,quả đến hàng đơn vị của độ)?,34 :,,22. Một trường trung học phổ thông có 500 học sinh, trong đó có 201 học sinh nam và 299 học sinh,nữ. Tổng kết học kỳ I, có 160 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, trong đó có 72 học sinh,nam và 88 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 500 học sinh đó. Tính xác,suất để học sinh được chọn có danh hiệu học sinh giỏi và là nam (làm tròn kết quả đến hàng,phần trăm).

Question

giải chi tiết Câu 20. Trong không gian Oxyz , một viên đận được băn ra từ điêm $A(2;1;3)$ với vận tôc không đổi,,vectơ vận tốc 9 (trên giây) là $\overrightarrow v=(2;1;5).$ Biết mục tiêu đặt ở vị trí có tọa độ $B(8;4;18),$ hỏi,trong thời gian bao lâu (giây) viên đạn trên bay trúng vào mục tiêu?,Câu 21. Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị,nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ,tọa độ phù hợp, các điểm gốc O (gốc cây thông) và A, B (nơơ buuộ  dây neo) óó ta độ  ương,ứng là $O(0;0;0),~A(5;-3;1),~B(-3;-4;2),$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai,dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $C(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn,thẳng. Khi đó, góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ (làm tròn kết,quả đến hàng đơn vị của độ)?,34 :,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/956bd5194e2e4ba88c0efa6dc098c0f3.jpg />,22. Một trường trung học phổ thông có 500 học sinh, trong đó có 201 học sinh nam và 299 học sinh,nữ. Tổng kết học kỳ I, có 160 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, trong đó có 72 học sinh,nam và 88 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 500 học sinh đó. Tính xác,suất để học sinh được chọn có danh hiệu học sinh giỏi và là nam (làm tròn kết quả đến hàng,phần trăm).

Accepted Answer

Câu 20.
Để tìm thời gian mà viên đạn bay trúng vào mục tiêu, ta cần xác định thời gian $ t $ sao cho vị trí của viên đạn trùng với vị trí của mục tiêu.

1. Xác định phương trình chuyển động của viên đạn:
   - Viên đạn được bắn ra từ điểm $ A(2;1;3) $ với vận tốc không đổi $ \overrightarrow{v} = (2;1;5) $.
   - Phương trình chuyển động của viên đạn theo thời gian $ t $ là:
     $$
     \begin{cases}
     x = 2 + 2t \
     y = 1 + t \
     z = 3 + 5t
     \end{cases}
     $$

2. Xác định tọa độ của mục tiêu:
   - Mục tiêu có tọa độ $ B(8;4;18) $.

3. Tìm thời gian $ t $ để viên đạn trúng mục tiêu:
   - Ta cần tìm $ t $ sao cho tọa độ của viên đạn trùng với tọa độ của mục tiêu:
     $$
     \begin{cases}
     2 + 2t = 8 \
     1 + t = 4 \
     3 + 5t = 18
     \end{cases}
     $$

4. Giải hệ phương trình:
   - Từ phương trình thứ nhất:
     $$
     2 + 2t = 8 \implies 2t = 6 \implies t = 3
     $$
   - Từ phương trình thứ hai:
     $$
     1 + t = 4 \implies t = 3
     $$
   - Từ phương trình thứ ba:
     $$
     3 + 5t = 18 \implies 5t = 15 \implies t = 3
     $$

Cả ba phương trình đều cho kết quả $ t = 3 $. Do đó, viên đạn sẽ trúng mục tiêu sau 3 giây.

Đáp số: 3 giây.

Câu 21.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi

Mặt phẳng sườn núi có thể được coi là mặt phẳng xy (do các điểm A và B nằm trên mặt phẳng này). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng xy là $\vec{n} = (0, 0, 1)$.

Bước 2: Xác định vectơ CA

Vectơ CA từ điểm C(0, 0, 5) đến điểm A(5, -3, 1) là:
$$
\vec{CA} = (5 - 0, -3 - 0, 1 - 5) = (5, -3, -4)
$$

Bước 3: Tính góc giữa vectơ CA và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sườn núi

Góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được tính bằng công thức:
$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
$$
Trong đó:
- $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là tích vô hướng của hai vectơ.
- $|\vec{u}|$ và $|\vec{v}|$ là độ dài của hai vectơ.

Áp dụng vào bài toán:
$$
\vec{CA} \cdot \vec{n} = (5, -3, -4) \cdot (0, 0, 1) = 5 \cdot 0 + (-3) \cdot 0 + (-4) \cdot 1 = -4
$$
$$
|\vec{CA}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$
$$
|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
$$
$$
\cos \theta = \frac{-4}{5\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-4}{5\sqrt{2}} = \frac{-4}{5\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{10} = \frac{-2\sqrt{2}}{5}
$$

Bước 4: Tính góc $\theta$

$$
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-2\sqrt{2}}{5}\right)
$$

Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\theta$:
$$
\theta \approx 126.87^\circ
$$

Góc giữa dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là:
$$
90^\circ - 126.87^\circ = -36.87^\circ
$$

Do đó, góc giữa dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là:
$$
36.87^\circ
$$

Làm tròn đến hàng đơn vị của độ:
$$
37^\circ
$$

Đáp số:
$$
\boxed{37^\circ}
$$