)Cho nưa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nưa đường tròn lãy điểm C sao cho AC < BC. Trên đoạn BC lãy điểm H, gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H tới AB. a) Chưng minh bốn điểm A,K, H, C cùng thuộc...

a) Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $$ (vì HK vuông góc với AB). Do đó, bốn điểm A, K, H, C cùng thuộc một đường tròn (gọi là đường tròn (AHC)). b) Ta có $$, do đó AK là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ACD. Vì I là trung điểm của DH, nên IK là đường trung bình của tam giác AHD, suy ra IK // AD. Kết hợp với $$, ta có $$. Do đó, IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc). c) Ta có P là trung điểm của AD và Q là trung điểm của HB. Vì S là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICK, nên S nằm trên đường trung trực của IK và CK. Ta sẽ chứng minh rằng P, Q, S thẳng hàng. - Vì P là trung điểm của AD và I là trung điểm của DH, nên PI là đường trung bình của tam giác AHD, suy ra PI // AH. - Vì Q là trung điểm của HB và I là trung điểm của DH, nên QI là đường trung bình của tam giác BDH, suy ra QI // BD. Do đó, PI và QI cùng song song với hai đường thẳng AH và BD, suy ra P, Q, I thẳng hàng. Vì S nằm trên đường trung trực của IK và CK, nên S cũng nằm trên đường thẳng qua P và Q. Vậy P, Q, S thẳng hàng.