Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1 (2 điểm). Cho hai biểu thức $A=\frac{75}2$ và $H=\frac{x-4}{x^2-4},$ và $4+0,10$,a) Tính giá trị biểu thức A khi $x=5$ b) Rút gọn biểu thức B.,c) Cho biểu thức $P=A.B.$ tìm tất cả các giá trị của x để $P=\frac1{x+2}$,Bài 2 (2 điểm). Giải các phương trình sau:,$a)~2x-7=-x+1$ $b)~5(x+2)-x^2=x(3-x)$ $6)~\frac{x-1}{12}-\frac{x+3}4=\frac{2x+3}{2x+5}$,Bài 3 (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.,Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Khi đến B người đó giao hứng trong 20 phút,rồi quay trở về A với vận tốc 60 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về (kế cả thời gian giáo hàng) là,4 giờ. Tính độ dài quãng đường AB.,*Bài 4: Cho hàm số $y=f(x)=(a-6)x+3$,a) Tìm a để hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc nhất. b) Tìm a biết $f(-1)=3$,c) Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;-4)$,Bài 5. (1,0 điểm) Cho biểu thức $P=\frac{6x^2+8x+7}{x^3-1}+\frac x{x^2+x+1}-\frac6{x-1}.$,a) Rút gọn biểu thức P .,b) Tìm giá trị của biểu thức P tại $x=\frac12.$,Bài 6. Cho $\Delta ABC$ có ba đường cao AD, BF và CE cắt nhau tại H.,a) Chứng minh $\Delta BHE-\Delta CHE$,b) Chứng minh AE $AB=AH.AD$,c) Chứng minh $\Delta AEF\backsim\Delta ACB.$ từ đó chứng minh AEDF vuông khi $(\frac{AF}{AB})^2=\frac12$,Bài 7 (0,5 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{3+8x}{4x^2+1}.$,Bài 8. (1,0 điểm) Cho biểu thức $M=\frac{2x-10}{x^2-7x+10}-\frac{2x}{x^2-4}+\frac1{2-x}.$,a) Rút gọn biểu thức M.,b) Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.

Question

Accepted Answer

Bài 1
a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 5$:
$$ A = \frac{75}{2} = 37,5 $$

b) Rút gọn biểu thức $H$:
$$ H = \frac{x-4}{x^2-4} $$
Nhận thấy rằng $x^2 - 4$ là một hiệu hai bình phương, ta có:
$$ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $$
Do đó:
$$ H = \frac{x-4}{(x-2)(x+2)} $$

c) Cho biểu thức $P = A \cdot H$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P = \frac{1}{x+2}$:
$$ P = \frac{75}{2} \cdot \frac{x-4}{(x-2)(x+2)} $$
Ta cần tìm $x$ sao cho:
$$ \frac{75}{2} \cdot \frac{x-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} $$
Nhân cả hai vế với $(x+2)$:
$$ \frac{75}{2} \cdot \frac{x-4}{x-2} = 1 $$
Nhân cả hai vế với $\frac{2}{75}$:
$$ \frac{x-4}{x-2} = \frac{2}{75} $$
Nhân cả hai vế với $(x-2)$:
$$ x-4 = \frac{2(x-2)}{75} $$
Nhân cả hai vế với 75:
$$ 75(x-4) = 2(x-2) $$
Mở ngoặc:
$$ 75x - 300 = 2x - 4 $$
Chuyển các hạng tử liên quan đến $x$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại:
$$ 75x - 2x = 300 - 4 $$
$$ 73x = 296 $$
Chia cả hai vế cho 73:
$$ x = \frac{296}{73} = 4 $$

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức $H$, tức là $x \neq 2$ và $x \neq -2$. Vì $x = 4$ thỏa mãn các điều kiện này, nên giá trị của $x$ là:
$$ x = 4 $$

Đáp số: $x = 4$

Bài 2
a) $2x - 7 = -x + 1$
   $2x + x = 1 + 7$
   $3x = 8$
   $x = \frac{8}{3}$

b) $5(x + 2) - x^2 = x(3 - x)$
   $5x + 10 - x^2 = 3x - x^2$
   $5x + 10 = 3x$
   $5x - 3x = -10$
   $2x = -10$
   $x = -5$

c) $\frac{x-1}{12} - \frac{x+3}{4} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $\frac{x-1}{12} - \frac{3(x+3)}{12} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $\frac{x-1 - 3(x+3)}{12} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $\frac{x-1 - 3x - 9}{12} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $\frac{-2x - 10}{12} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $\frac{-x - 5}{6} = \frac{2x+3}{2x+5}$
   $(-x - 5)(2x + 5) = 6(2x + 3)$
   $-2x^2 - 5x - 10x - 25 = 12x + 18$
   $-2x^2 - 15x - 25 = 12x + 18$
   $-2x^2 - 27x - 43 = 0$
   $2x^2 + 27x + 43 = 0$
   $(2x + 43)(x + 1) = 0$
   $2x + 43 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$
   $x = -\frac{43}{2}$ hoặc $x = -1$

Đáp số: 
a) $x = \frac{8}{3}$
b) $x = -5$
c) $x = -\frac{43}{2}$ hoặc $x = -1$

Bài 3
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ A đến B là $v_{1}$ với thời gian là $t_{1}$ (giờ).
Gọi vận tốc của ô tô khi đi từ B về A là $v_{2}$ với thời gian là $t_{2}$ (giờ).

Thời gian giao hàng là $\frac{1}{3}$ giờ (vì 20 phút = $\frac{1}{3}$ giờ).

Tổng thời gian cả đi lẫn về (kế cả thời gian giao hàng) là 4 giờ, nên ta có:
$$ t_{1} + t_{2} + \frac{1}{3} = 4 $$
$$ t_{1} + t_{2} = 4 - \frac{1}{3} $$
$$ t_{1} + t_{2} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} $$
$$ t_{1} + t_{2} = \frac{11}{3} \text{ (giờ)} $$

Quãng đường từ A đến B là cùng một đoạn đường, nên ta có:
$$ v_{1} \times t_{1} = v_{2} \times t_{2} $$
$$ 50 \times t_{1} = 60 \times t_{2} $$
$$ \frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{60}{50} $$
$$ \frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{6}{5} $$

Gọi $t_{1} = 6x$ và $t_{2} = 5x$, ta có:
$$ 6x + 5x = \frac{11}{3} $$
$$ 11x = \frac{11}{3} $$
$$ x = \frac{11}{3} \div 11 $$
$$ x = \frac{11}{3} \times \frac{1}{11} $$
$$ x = \frac{1}{3} $$

Vậy:
$$ t_{1} = 6x = 6 \times \frac{1}{3} = 2 \text{ (giờ)} $$
$$ t_{2} = 5x = 5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \text{ (giờ)} $$

Độ dài quãng đường AB là:
$$ \text{Quãng đường} = v_{1} \times t_{1} = 50 \times 2 = 100 \text{ (km)} $$

Đáp số: 100 km.

Bài 4:
a) Để hàm số $y=f(x)$ là hàm số bậc nhất, ta cần điều kiện $a-6 \neq 0$. Do đó, $a \neq 6$.

b) Ta có $f(-1) = 3$. Thay $x = -1$ vào hàm số $y = f(x)$, ta được:
$$ f(-1) = (a-6)(-1) + 3 = 3 $$
$$ -(a-6) + 3 = 3 $$
$$ -a + 6 + 3 = 3 $$
$$ -a + 9 = 3 $$
$$ -a = 3 - 9 $$
$$ -a = -6 $$
$$ a = 6 $$

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1, -4)$. Thay tọa độ điểm $A$ vào hàm số $y = f(x)$, ta được:
$$ f(1) = (a-6) \cdot 1 + 3 = -4 $$
$$ a - 6 + 3 = -4 $$
$$ a - 3 = -4 $$
$$ a = -4 + 3 $$
$$ a = -1 $$

Đáp số:
a) $a \neq 6$
b) $a = 6$
c) $a = -1$

Bài 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức $ P $ được cho là:
$$ P = \frac{6x^2 + 8x + 7}{x^3 - 1} + \frac{x}{x^2 + x + 1} - \frac{6}{x - 1} $$

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- $ x^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $
- $ x^2 + x + 1 \neq 0 $ (luôn đúng vì $ x^2 + x + 1 $ luôn dương)
- $ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $

Vậy ĐKXĐ là $ x \neq 1 $.

Bước 2: Rút gọn từng phân thức
Ta nhận thấy rằng $ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $.

Do đó:
$$ \frac{6x^2 + 8x + 7}{x^3 - 1} = \frac{6x^2 + 8x + 7}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

Cũng có:
$$ \frac{x}{x^2 + x + 1} $$

và:
$$ \frac{6}{x - 1} $$

Bước 3: Quy đồng mẫu số
Mẫu số chung của ba phân thức là $ (x - 1)(x^2 + x + 1) $.

Quy đồng các phân thức:
$$ \frac{6x^2 + 8x + 7}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{6(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

Bước 4: Cộng trừ các phân thức
$$ P = \frac{6x^2 + 8x + 7 + x(x - 1) - 6(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

Rút gọn tử số:
$$ 6x^2 + 8x + 7 + x^2 - x - 6x^2 - 6x - 6 = x^2 + x + 1 $$

Vậy:
$$ P = \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{1}{x - 1} $$

b) Tìm giá trị của biểu thức $ P $ tại $ x = \frac{1}{2} $

Thay $ x = \frac{1}{2} $ vào biểu thức đã rút gọn:
$$ P = \frac{1}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ tại $ x = \frac{1}{2} $ là $ -2 $.

Đáp số:
a) $ P = \frac{1}{x - 1} $

b) $ P = -2 $ tại $ x = \frac{1}{2} $

Bài 6.
a) Ta có $\angle EHB=\angle EHC$ (cùng bằng góc bù với góc CFB)
$\angle BEH=\angle CEH$ (cùng phụ với góc BAC)
Do đó $\Delta BHE=\Delta CHE$ (góc - cạnh - góc)
b) Ta có $\angle BAE=\angle CAD$ (cùng bằng góc BCA)
$\angle AEB=\angle ADC$ (cùng bằng 90°)
Do đó $\Delta ABE\backsim\Delta ACD$ (góc - góc)
Từ đó ta có $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$ hay $AB.AC=AE.AD$
c) Ta có $\angle AEF=\angle ACB$ (cùng bằng góc AFE)
$\angle EAF=\angle CAB$ (cùng bằng góc BAC)
Do đó $\Delta AEF\backsim\Delta ACB$ (góc - góc)
Từ đó ta có $\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$
Mặt khác theo kết quả ở phần b) ta có $AB.AC=AE.AD$
Do đó $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$
Từ đó ta có $\frac{AF}{AB}=\frac{AD}{AB}$ hay $AF=AD$
Ta lại có $\angle AFD=\angle ADE$ (cùng bằng góc BAC)
Do đó $\Delta ADF$ là tam giác cân tại A
Từ đó ta có $\angle AFD=\angle ADF=45°$
Vậy tứ giác AEDF là hình vuông.

Bài 7
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và tìm giá trị cực đại của biểu thức này.

Bước 1: Xét biểu thức $A = \frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$

Bước 2: Ta sẽ biến đổi biểu thức này để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất. Ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng:

$$ A = \frac{3 + 8x}{4x^2 + 1} $$

Bước 3: Ta sẽ tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và tìm giá trị cực đại của biểu thức.

Bước 4: Ta xét biểu thức $f(x) = 3 + 8x$ và $g(x) = 4x^2 + 1$. Ta thấy rằng $g(x)$ luôn dương và đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = 0$, tức là $g(0) = 1$.

Bước 5: Ta sẽ tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức $\frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$ đạt giá trị lớn nhất. Ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi và tìm giá trị cực đại của biểu thức.

Bước 6: Ta xét biểu thức $A = \frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$. Ta thấy rằng khi $x = 0$, ta có:

$$ A = \frac{3 + 8 \cdot 0}{4 \cdot 0^2 + 1} = \frac{3}{1} = 3 $$

Bước 7: Ta sẽ kiểm tra xem liệu có giá trị nào khác của $x$ làm cho biểu thức đạt giá trị lớn hơn 3 hay không. Ta thấy rằng khi $x$ tăng lên hoặc giảm xuống, biểu thức $4x^2 + 1$ sẽ tăng lên, do đó phân số $\frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$ sẽ giảm đi.

Bước 8: Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{3 + 8x}{4x^2 + 1}$ là 3, đạt được khi $x = 0$.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của $A$ là 3, đạt được khi $x = 0$.

Bài 8.
a) Rút gọn biểu thức M.

Điều kiện xác định: $x \neq 2, x \neq 5$

Ta có:

$$M = \frac{2x-10}{x^2-7x+10} - \frac{2x}{x^2-4} + \frac{1}{2-x}$$

Phân tích các mẫu thức:

$$x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)$$
$$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$

Do đó:

$$M = \frac{2(x-5)}{(x-2)(x-5)} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2-x}$$

Rút gọn phân thức đầu tiên:

$$M = \frac{2}{x-2} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{2-x}$$

Chú ý rằng $\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$:

$$M = \frac{2}{x-2} - \frac{2x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2}$$

Tìm mẫu chung là $(x-2)(x+2)$:

$$M = \frac{2(x+2) - 2x - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$$

Rút gọn tử số:

$$M = \frac{2x + 4 - 2x - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-x + 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{x+2}$$

Vậy biểu thức rút gọn của $M$ là:

$$M = \frac{-1}{x+2}$$

b) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

Để $M = \frac{-1}{x+2}$ nhận giá trị nguyên, $x+2$ phải là ước của $-1$. Các ước của $-1$ là $\pm 1$.

Do đó:

$$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$$
$$x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$$

Vậy các giá trị nguyên của $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên là $x = -1$ và $x = -3$.

Đáp số: $x = -1$ và $x = -3$.