giải hệ phương trìnhGiúp mình với! $\left\{\begin{array}ly^2-2xy-y+4x-2=0\x^2-3y-3=\sqrt{x^4+24}\end{array} ight.$

Question

giải hệ phương trìnhGiúp mình với! $\left\{\begin{array}ly^2-2xy-y+4x-2=0\x^2-3y-3=\sqrt{x^4+24}\end{array}ight.$

Accepted Answer

{"userId":5038369,"userName":"Nguyễn Thanh Thủy"}

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} y^2-2xy-y+4x-2=0 \ x^2-3y-3=\sqrt{x^4+29} \end{cases}$

Xét phương trình thứ nhất của hệ:

$y^2-2xy-y+4x-2=0$

$\Leftrightarrow y(y-1)-2x(y-2)=0$

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:

$x^2-3y-3 = \sqrt{x^4+29}$

$\Leftrightarrow (x^2-3y-3)^2 = x^4+29$

$\Leftrightarrow x^4+(3y+3)^2-2x^2(3y+3)=x^4+29$

$\Leftrightarrow (3y+3)^2-2x^2(3y+3)=29$

$\Leftrightarrow 9(y+1)^2-6x^2(y+1)=29$

Từ phương trình thứ nhất ta có:

$y^2-2xy-y+4x-2=0$

$\Leftrightarrow y^2-y-2=2xy-4x$

$\Leftrightarrow (y-2)(y+1)=2x(y-2)$

$\Leftrightarrow (y-2)(y+1-2x)=0$

$\Leftrightarrow y=2$ hoặc $y+1-2x=0 \Leftrightarrow y=2x-1$

Nếu $y=2$ thay vào phương trình $(3y+3)^2-2x^2(3y+3)=29$ ta được:

$(3\cdot 2+3)^2-2x^2(3\cdot 2+3)=29$

$\Leftrightarrow 81-18x^2=29$

$\Leftrightarrow 18x^2=52$

$\Leftrightarrow x^2=\frac{26}{9}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{26}}{3}$

Nếu $y=2x-1$ thay vào phương trình $(3y+3)^2-2x^2(3y+3)=29$ ta được:

$[3(2x-1)+3]^2-2x^2[3(2x-1)+3]=29$

$(6x)^2-2x^2(6x)=29$

$36x^2-12x^3=29$

$12x^3-36x^2+29=0$

Phương trình này có nghiệm lẻ.

Vậy hệ có các nghiệm $(x;y) = (\frac{\sqrt{26}}{3};2), (-\frac{\sqrt{26}}{3};2)$.

---