Hsjdoskslsnc bố skks Câu 24: (Mã 101-2021-Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(1;1;3)$ và đường thẳng,$d:\frac{x-1}1=\frac y2=\frac{z+1}1.$ Đường thẳng đi qua A, cắt trục Oy và vuông góc với d có,phương trình là:,Trang 85

Question

Accepted Answer

Câu 24:
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm $ A(1;1;3) $, cắt trục Oy và vuông góc với đường thẳng $ d $, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định điểm trên trục Oy:
   Gọi điểm $ B(0; b; 0) $ là điểm trên trục Oy mà đường thẳng cần tìm đi qua.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $ AB $:
   Vectơ $ \overrightarrow{AB} $ có tọa độ:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (0 - 1; b - 1; 0 - 3) = (-1; b - 1; -3)
   $$

3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $ d $:
   Đường thẳng $ d $ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1}
   $$
   Do đó, vectơ chỉ phương của $ d $ là:
   $$
   \overrightarrow{u_d} = (1; 2; 1)
   $$

4. Điều kiện vuông góc:
   Vì đường thẳng $ AB $ vuông góc với đường thẳng $ d $, nên tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương này phải bằng 0:
   $$
   \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_d} = 0
   $$
   Thay tọa độ của các vectơ vào:
   $$
   (-1) \cdot 1 + (b - 1) \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = 0
   $$
   Giải phương trình:
   $$
   -1 + 2(b - 1) - 3 = 0
   $$
   $$
   -1 + 2b - 2 - 3 = 0
   $$
   $$
   2b - 6 = 0
   $$
   $$
   2b = 6
   $$
   $$
   b = 3
   $$

5. Tọa độ điểm B:
   Điểm $ B $ có tọa độ là $ (0; 3; 0) $.

6. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $ AB $:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (-1; 2; -3)
   $$

7. Phương trình đường thẳng $ AB $:
   Đường thẳng đi qua điểm $ A(1; 1; 3) $ và có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{AB} = (-1; 2; -3) $ có phương trình tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 - t \
   y = 1 + 2t \
   z = 3 - 3t
   \end{cases}
   $$

Vậy phương trình của đường thẳng cần tìm là:
$$
\begin{cases}
x = 1 - t \
y = 1 + 2t \
z = 3 - 3t
\end{cases}
$$