Trả lời đúng sai và trả lời ngắn Câu 3. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$ và $F(x)=\int f(x)dx.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$Đ~a)~F^\prime(x)=x^3-3x^2+2x-1.$,b) Hàm số $y=\frac14x^4-x^3+x^2-x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x).$,$c)~F(x)=\frac14x^4-x^3+x^2-x.$,S d) Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=1.$ Khi đó $F(1)=\frac54.$,Câu 4. Cho hàm số $y=e^x.$,1 a) Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, trục hoành, $x=-1$ và $x=1$ là $\frac{e^2-1}e.$,(. b) Với $a=\ln4$ thì diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, các trục tọa độ và đường,thẳng $x=a$ bằng 3.,D c) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x,$ trục hoành và các đường thẳng $x=0,~x=1.$,Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng $V=2\pi(e^2-1).$,d) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) đã cho tại điểm $x_0=0.$ Diện tích hình học phẳng được,giới hạn bởi đường thẳng d , trục hoành , $x=-1$ và $x=1$ là 2.,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Giả sử hàm số $f(x)=e^x+\sin x$ có họ nguyên hàm $F(x)=ae^x+b\cos x+C,$ trong đó $a,b\in\mathbb R.$ Giá,trị của biểu thức $P=a^2b$ là bao nhiêu? $-1$,Câu 2. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời,C.0 gian t (giây được tííh ttheo công thức $v(t)=20-5t(0\leq t\leq4).$ Kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi,được quãng đường bao nhiêu?,Câu 3. Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+2z+2=0.$ Mặt,C.i phẳng (() song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và cách A một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng (B) dạng,$6~x-by+cz+d=0,$ trong đó b,c,d là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?,Câu 4. Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $M(1;2;-2)$ và mặt phẳng $(P):~2x+y-3z+1=0.$ Phương,trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}lx=1-4t\y=2+bt~(t\in\mathbb R).\z=-2+ct\end{array} ight.$,Khi đó giá trị của biểu thức: $P=b^2+c^2$ là bao nhiêu?,Câu 5. Cho tích phân $\int^2_1(\frac{x^2+1}x)dx=\ln a+\frac bc,$ với a, b, c là các số nguyên dương, $\frac bc$ là phân số tối giản.,4 Tính tổng $a+b+c.$,Câu 6. Biết $\int(\sin^4x+\cos^4x)\sin2xdx=-\frac{\cos2x}a-\frac{\cos^32x}b+C,$ với a, b, C là các số thực.,28,Tính giá trị của $a^2+b.$,----- HẾT -----

Question

Trả lời đúng sai và trả lời ngắn Câu 3. Cho hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$ và $F(x)=\int f(x)dx.$ Các mệnh đề sau đúng hay sai?,$Đ~a)~F^\prime(x)=x^3-3x^2+2x-1.$,b) Hàm số $y=\frac14x^4-x^3+x^2-x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x).$,$c)~F(x)=\frac14x^4-x^3+x^2-x.$,S d) Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=1.$ Khi đó $F(1)=\frac54.$,Câu 4. Cho hàm số $y=e^x.$,1 a) Diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, trục hoành, $x=-1$ và $x=1$ là $\frac{e^2-1}e.$,(. b) Với $a=\ln4$ thì diện tích hình học phẳng được giới hạn bới hàm số đã cho, các trục tọa độ và đường,thẳng $x=a$ bằng 3.,D c) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=e^x,$ trục hoành và các đường thẳng $x=0,~x=1.$,Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng $V=2\pi(e^2-1).$,d) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) đã cho tại điểm $x_0=0.$ Diện tích hình học phẳng được,giới hạn bởi đường thẳng d , trục hoành , $x=-1$ và $x=1$ là 2.,Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Giả sử hàm số $f(x)=e^x+\sin x$ có họ nguyên hàm $F(x)=ae^x+b\cos x+C,$ trong đó $a,b\in\mathbb R.$ Giá,trị của biểu thức $P=a^2b$ là bao nhiêu? $-1$,Câu 2. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ 20 m/s thì hãm phanh nên tốc độ (m/s) của xe thay đổi theo thời,C.0 gian t (giây được tííh ttheo công thức $v(t)=20-5t(0\leq t\leq4).$ Kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi,được quãng đường bao nhiêu?,Câu 3. Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+2z+2=0.$ Mặt,C.i phẳng (() song song với mặt phẳng $(\alpha)$ và cách A một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng (B) dạng,$6~x-by+cz+d=0,$ trong đó b,c,d là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?,Câu 4. Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm $M(1;2;-2)$ và mặt phẳng $(P):~2x+y-3z+1=0.$ Phương,trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) có phương trình tham số: $\left\{\begin{array}lx=1-4t\y=2+bt~(t\in\mathbb R).\z=-2+ct\end{array}ight.$,Khi đó giá trị của biểu thức: $P=b^2+c^2$ là bao nhiêu?,Câu 5. Cho tích phân $\int^2_1(\frac{x^2+1}x)dx=\ln a+\frac bc,$ với a, b, c là các số nguyên dương, $\frac bc$ là phân số tối giản.,4 Tính tổng $a+b+c.$,Câu 6. Biết $\int(\sin^4x+\cos^4x)\sin2xdx=-\frac{\cos2x}a-\frac{\cos^32x}b+C,$ với a, b, C là các số thực.,28,Tính giá trị của $a^2+b.$,----- HẾT -----

Accepted Answer

Câu 3.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

a) Mệnh đề: $F'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$

Theo định nghĩa của nguyên hàm, nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thì $F'(x) = f(x)$. Do đó, $F'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ là đúng.

b) Mệnh đề: Hàm số $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$

Ta tính đạo hàm của $y = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x$:
$$ y' = \left(\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x\right)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 $$

Vì $y' = f(x)$, nên mệnh đề này là đúng.

c) Mệnh đề: $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x$

Mệnh đề này không hoàn toàn đúng vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$, nhưng nó chưa bao gồm hằng số tích phân $C$. Do đó, $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x + C$, trong đó $C$ là hằng số bất kỳ.

d) Mệnh đề: Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$. Khi đó $F(1) = \frac{5}{4}$

Giả sử $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x + C$. Ta biết rằng $F(0) = 1$, do đó:
$$ F(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - (0)^3 + (0)^2 - (0) + C = 1 $$
$$ C = 1 $$

Vậy $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$. Bây giờ, ta tính $F(1)$:
$$ F(1) = \frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 - (1) + 1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 - 1 + 1 = \frac{1}{4} $$

Do đó, $F(1) = \frac{1}{4}$, không phải $\frac{5}{4}$. Mệnh đề này là sai.

Tóm lại:
- Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Câu 4.
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số $y = e^x$, trục hoành, $x = -1$ và $x = 1$ là:
$$ S = \int_{-1}^{1} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e} = \frac{e^2 - 1}{e}. $$
Đáp án đúng là $\frac{e^2 - 1}{e}$.

b) Với $a = \ln 4$, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số $y = e^x$, các trục tọa độ và đường thẳng $x = a$ là:
$$ S = \int_{0}^{\ln 4} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{0}^{\ln 4} = e^{\ln 4} - e^0 = 4 - 1 = 3. $$
Đáp án đúng là 3.

c) Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành là:
$$ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1). $$
Đáp án đúng là $\frac{\pi}{2} (e^2 - 1)$.

d) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = e^x$ tại điểm $x_0 = 0$ là:
$$ y = e^0 + e^0 (x - 0) = 1 + x. $$
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng $y = 1 + x$, trục hoành, $x = -1$ và $x = 1$ là:
$$ S = \int_{-1}^{1} (1 + x) \, dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 + \frac{1}{2} \right) - \left( -1 + \frac{1}{2} \right) = 1 + \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 2. $$
Đáp án đúng là 2.

Câu 1.
Để tìm giá trị của biểu thức $ P = a^2b $, chúng ta cần xác định các hệ số $ a $ và $ b $ từ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = e^x + \sin x $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) $.

Nguyên hàm của $ e^x $ là $ e^x $:
$$ \int e^x \, dx = e^x + C_1 $$

Nguyên hàm của $ \sin x $ là $ -\cos x $:
$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 $$

Do đó, nguyên hàm tổng của hai hàm này là:
$$ F(x) = e^x - \cos x + C $$

Bước 2: So sánh với dạng chung của nguyên hàm $ F(x) = ae^x + b\cos x + C $.

So sánh:
$$ F(x) = e^x - \cos x + C $$
với
$$ F(x) = ae^x + b\cos x + C $$

Ta thấy rằng:
$$ a = 1 $$
$$ b = -1 $$

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $ P = a^2b $.

Thay $ a = 1 $ và $ b = -1 $ vào biểu thức $ P $:
$$ P = a^2b = 1^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$ \boxed{-1} $$

Câu 2.
Để tính quãng đường mà ô tô đi được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ta cần tính tích phân của tốc độ theo thời gian từ lúc bắt đầu hãm phanh cho đến khi dừng hẳn.

Bước 1: Xác định thời điểm dừng của ô tô.
- Tốc độ của ô tô theo thời gian được mô tả bởi công thức: $ v(t) = 20 - 5t $.
- Ô tô dừng lại khi $ v(t) = 0 $.

Ta giải phương trình:
$$ 20 - 5t = 0 $$
$$ 5t = 20 $$
$$ t = 4 \text{ giây} $$

Bước 2: Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 0 đến 4 giây.
- Quãng đường $ s $ được tính bằng tích phân của tốc độ theo thời gian:
$$ s = \int_{0}^{4} v(t) \, dt $$
$$ s = \int_{0}^{4} (20 - 5t) \, dt $$

Bước 3: Tính tích phân.
$$ s = \left[ 20t - \frac{5t^2}{2} \right]_{0}^{4} $$
$$ s = \left( 20 \cdot 4 - \frac{5 \cdot 4^2}{2} \right) - \left( 20 \cdot 0 - \frac{5 \cdot 0^2}{2} \right) $$
$$ s = \left( 80 - \frac{5 \cdot 16}{2} \right) - 0 $$
$$ s = 80 - 40 $$
$$ s = 40 \text{ mét} $$

Vậy, kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường là 40 mét.

Câu 3.
Để tìm phương trình của mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng ($\alpha$) và cách điểm $A(1;2;1)$ một khoảng bằng 1, ta làm như sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ($\alpha$):
   Mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình $x - 2y + 2z + 2 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (1, -2, 2)$.

2. Phương trình mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng ($\alpha$):
   Vì mặt phẳng (B) song song với mặt phẳng ($\alpha$), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B) cũng là $\vec{n} = (1, -2, 2)$. Do đó, phương trình mặt phẳng (B) có dạng:
   $$
   x - 2y + 2z + d = 0
   $$
   Trong đó $d$ là hằng số cần tìm.

3. Tính khoảng cách từ điểm $A(1;2;1)$ đến mặt phẳng (B):
   Khoảng cách từ điểm $A(1;2;1)$ đến mặt phẳng $x - 2y + 2z + d = 0$ được tính bằng công thức:
   $$
   \text{Khoảng cách} = \frac{|1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 + 2 + d|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|d - 1|}{3}
   $$
   Theo đề bài, khoảng cách này bằng 1, nên ta có:
   $$
   \frac{|d - 1|}{3} = 1 \implies |d - 1| = 3
   $$
   Từ đây, ta có hai trường hợp:
   $$
   d - 1 = 3 \quad \text{hoặc} \quad d - 1 = -3
   $$
   Giải ra ta được:
   $$
   d = 4 \quad \text{hoặc} \quad d = -2
   $$

4. Chọn giá trị của $d$ sao cho $b, c, d$ là các số thực dương:
   Ta thấy $d = 4$ thỏa mãn điều kiện $d$ là số thực dương. Do đó, phương trình mặt phẳng (B) là:
   $$
   x - 2y + 2z + 4 = 0
   $$
   So sánh với phương trình $6x - by + cz + d = 0$, ta có:
   $$
   6x - 2y + 2z + 4 = 0 \implies b = 2, c = 2, d = 4
   $$

5. Tính giá trị của biểu thức $S = 3b - c + d$:
   Thay $b = 2$, $c = 2$, $d = 4$ vào biểu thức $S$:
   $$
   S = 3 \cdot 2 - 2 + 4 = 6 - 2 + 4 = 8
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $S$ là $\boxed{8}$.

Câu 4.
Để tìm giá trị của biểu thức $ P = b^2 + c^2 $, chúng ta cần xác định các giá trị của $ b $ và $ c $ từ phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $ M(1;2;-2) $ và vuông góc với mặt phẳng $ (P): 2x + y - 3z + 1 = 0 $.

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (P) $.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (P) $ là $ \vec{n} = (2, 1, -3) $.

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (P) $, vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (P) $. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là $ \vec{d} = (2, 1, -3) $.

Bước 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $ M(1;2;-2) $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{d} = (2, 1, -3) $ là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + 2t \
y = 2 + t \
z = -2 - 3t
\end{array}
\right.
$$

So sánh với phương trình tham số đã cho:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 - 4t \
y = 2 + bt \
z = -2 + ct
\end{array}
\right.
$$

Ta thấy rằng:
$$ 
2 = -4 \quad \text{(sai)} \
1 = b \
-3 = c
$$

Do đó, $ b = 1 $ và $ c = -3 $.

Bước 4: Tính giá trị của biểu thức $ P = b^2 + c^2 $.
$$ 
P = b^2 + c^2 = 1^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$ 
\boxed{10}
$$

Câu 5.
Để tính tích phân $\int^2_1\left(\frac{x^2+1}{x}\right)dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức trong tích phân:
$$
\int^2_1\left(\frac{x^2+1}{x}\right)dx = \int^2_1\left(x + \frac{1}{x}\right)dx
$$

Bước 2: Tính từng phần của tích phân:
$$
\int^2_1 x \, dx + \int^2_1 \frac{1}{x} \, dx
$$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$
\int^2_1 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]^2_1 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
$$
$$
\int^2_1 \frac{1}{x} \, dx = \left[\ln|x|\right]^2_1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)
$$

Bước 4: Cộng lại các kết quả:
$$
\int^2_1\left(\frac{x^2+1}{x}\right)dx = \ln(2) + \frac{3}{2}
$$

So sánh với dạng $\ln a + \frac{b}{c}$, ta nhận thấy:
$$
a = 2, \quad b = 3, \quad c = 2
$$

Bước 5: Tính tổng $a + b + c$:
$$
a + b + c = 2 + 3 + 2 = 7
$$

Vậy, tổng $a + b + c$ là 7.

Câu 6.
Để tính giá trị của $a^2 + b$, chúng ta cần tìm các giá trị của $a$ và $b$ từ tích phân đã cho.

Bước 1: Tính tích phân $\int (\sin^4 x + \cos^4 x) \sin 2x \, dx$.

Ta có:
$$
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x
$$
$$
= 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x
$$

Do đó:
$$
\int (\sin^4 x + \cos^4 x) \sin 2x \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\right) \sin 2x \, dx
$$

Bước 2: Thực hiện phép tích phân từng phần.

Gọi $u = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$ và $dv = \sin 2x \, dx$. Ta có:
$$
du = -\sin 2x \cos 2x \cdot 2 \, dx = -2 \sin 2x \cos 2x \, dx
$$
$$
v = -\frac{1}{2} \cos 2x
$$

Áp dụng công thức tích phân từng phần:
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

Ta có:
$$
\int \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\right) \sin 2x \, dx = \left(1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x\right) \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) \left(-2 \sin 2x \cos 2x\right) \, dx
$$

Bước 3: Tính tiếp phần còn lại của tích phân.

$$
= -\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin^2 2x \cos 2x - \int \sin^2 2x \cos^2 2x \, dx
$$

Bước 4: Xác định các giá trị của $a$ và $b$.

So sánh với biểu thức ban đầu:
$$
-\frac{\cos 2x}{a} - \frac{\cos^3 2x}{b} + C
$$

Ta thấy rằng:
$$
-\frac{\cos 2x}{2} + \frac{1}{4} \sin^2 2x \cos 2x - \int \sin^2 2x \cos^2 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{a} - \frac{\cos^3 2x}{b} + C
$$

Từ đây, ta suy ra:
$$
a = 2 \quad \text{và} \quad b = 4
$$

Bước 5: Tính giá trị của $a^2 + b$.

$$
a^2 + b = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8
$$

Vậy giá trị của $a^2 + b$ là:
$$
\boxed{8}
$$