Chhdjshkdkdj Câu 29: (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ccho hai điể $A(1;-2;-3)$,$B(-1;4;1)$ và đường thẳng $d:\frac{z+2}1=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}2.$ . Phương trình nào dưới đây là,phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với a,?,$A.~\frac x1=\frac{y-1}1=\frac{z+1}2$ $B.~\frac x1=\frac{y-1}{-1}=\frac{x+1}2$,$C.~\frac{x-1}1=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}2$ $D.~\frac x1=\frac{y-2}{-1}=\frac{x+2}2$,Câu 30: (Đề minh họa 2022) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(2;-2;3),~B(1;3;4)$,$C(3;-1;5).$ Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là,$A.~\frac{x-2}2=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-1}3.$ $B.~\frac{x+2}2=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}1.$,$C.~\frac{x-2}4=\frac{y+2}2=\frac{z-3}9.$ $D.~\frac{x-2}2=\frac{y+4}{-4}2=\frac{z-3}1.$,Câu 31: (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(-4;-3;3)$ và mặt phẳng,$(P):~x+y+z=0.$ Đường thẳng đi qua A, cắt trục Oz và song song với (P) có,phương trình là,$A.~\frac{x-4}4=\frac{y-3}3=\frac{z-3}{-7}.$ $B.~\frac{x+4}4=\frac{y+3}3=\frac{z-3}1.$,$C.~\frac{x+4}{-4}=\frac{y+3}3=\frac{z-3}1.$ $D.~\frac{x+8}4=\frac{y+6}3=\frac{z-10}{-7}.$

Question

Accepted Answer

Câu 29:
Đầu tiên, ta tìm trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB, ta có:
$$ M = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = (0, 1, -1) $$

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng đường thẳng $ d $ có phương vectơ $ \vec{u_d} = (1, -1, 2) $. Đường thẳng đi qua trung điểm M và song song với đường thẳng $ d $ sẽ có cùng phương vectơ $ \vec{u_d} $.

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm $ M(0, 1, -1) $ và có phương vectơ $ \vec{u_d} = (1, -1, 2) $ là:
$$ \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} $$
$$ \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} $$

Do đó, phương án đúng là:
$$ B.~\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 1}{2} $$

Câu 30:
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A(2; -2; 3) $ và song song với đoạn thẳng $ BC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của đoạn thẳng $ BC $:
   - Tọa độ của điểm $ B $ là $ (1; 3; 4) $.
   - Tọa độ của điểm $ C $ là $ (3; -1; 5) $.

Vectơ $ \overrightarrow{BC} $ được tính như sau:
   $$
   \overrightarrow{BC} = (3 - 1; -1 - 3; 5 - 4) = (2; -4; 1)
   $$

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A $ và có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{BC} $:
   - Điểm $ A $ có tọa độ $ (2; -2; 3) $.
   - Vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{BC} $ là $ (2; -4; 1) $.

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $ A $ và có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{BC} $ là:
   $$
   \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z - 3}{1}
   $$

Do đó, phương án đúng là:
$$ D.~\frac{x-2}{2} = \frac{y+2}{-4} = \frac{z-3}{1} $$

Câu 31:
Để tìm đường thẳng đi qua điểm $A(-4;-3;3)$, cắt trục Oz và song song với mặt phẳng $(P):~x+y+z=0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Mặt phẳng $(P):~x + y + z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 1, 1)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Vì đường thẳng song song với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Ta chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (a, b, c)$ sao cho $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$:
   $$
   a + b + c = 0
   $$

3. Tìm điểm trên trục Oz:
   Gọi điểm trên trục Oz là $B(0, 0, z_0)$. Đường thẳng đi qua điểm $A(-4, -3, 3)$ và điểm $B(0, 0, z_0)$ sẽ có vectơ chỉ phương là $\vec{AB} = (4, 3, z_0 - 3)$. Để đường thẳng này song song với mặt phẳng $(P)$, vectơ $\vec{AB}$ phải thỏa mãn điều kiện:
   $$
   4 + 3 + (z_0 - 3) = 0 \implies z_0 = -4
   $$
   Vậy điểm $B$ là $(0, 0, -4)$.

4. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:
   Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{AB} = (4, 3, -7)$.

5. Viết phương trình đường thẳng:
   Đường thẳng đi qua điểm $A(-4, -3, 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (4, 3, -7)$ có phương trình:
   $$
   \frac{x + 4}{4} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 3}{-7}
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ 
\boxed{\frac{x + 4}{4} = \frac{y + 3}{3} = \frac{z - 3}{-7}}
$$